Практикум по вычислительной математике (стр. 23 )

/(л ) % (л*2 + 3,78885.v — 0,23607) (л*2+0,21115л+ 4,23605)=0.

Для определения корней остается решить два квадратных урав!

.у 2+ 3,7Ш5.\'-0,23607 = 0; .v1<2= - 1,894425 + ,/3,588846+0,23607j = — 1,894425+ 1,955739; xtx-3,8502; .y2^ 0,0613; .v2 + 0,21115.Y+4,23605 = 0;.4 = — 0.105575 ± N/0,01115—4,23605 = = —0,105575 + 2,0555/; л*3.4*-0.1056±2,0555/. |

Ответ: д-j St — 3,850; a, ^ 0,0613; x3 4 =* - 0.106 + 2,055/.

Глава VI НАХОЖДЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ И СОБСТВЕННЫ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ Работа 1

Задание. Найти собственные числа и собственные векторы май методом непосредственного развертывания с точностью до

1  I

4  4 1 2

3  2

2  4 I 0

5  3

3  2 I 0

( 1	-1	-l\		1	1	“4\
0	6	21.	№ 10. /1 =	3	-3	2
V-6	-3	-2/		-5	1	4/

2 - I 3

№ 12. A =

№ и. л =

№ 16. A =

№ 18. A =

№ 20. A =

/ 1	_2	2\	/ 2	1	-A
-2	t	1 '	№ 22. .4= -2	4	I
V 3	-1	2/	V —3	0	зУ

Л* 23. i= _

/ i	2	"'A	/-I	3	1\
1= —2	4	-б)	№ 24. Л= 7	2	4
V-l	0	-2 J	V 5	1	2/

JVs 26. Л =

/ з	1	-5\	I 2 1	~J\
•1= -3	1	1 '	№ 28. .4= [ -2 3	6
V —4	3	-4/	V 1 1	-V

№ 30. A =

1  2 Г 9 1 2 2  — 1 0>

I.  Составим характеристическое уравнение матрицы, корнями рого являются собственные числа матрицы:

	2-*>„	-1	3
0(b)-	_ 2	4-Х	5	= 0.
3	2	-1-Х

(2 — X) (4 — X) (— 1 -М - 15-12 — 9(4 — ?.)— 10(2 — X) — 2( — 1 - Х)=0,

откуда после раскрытия скобок, приведения подобных членов и ножения обеих частей уравнения на -1 имеем

X3 —5>w2— 19Х + К9=0.

Полученное уравнение решим с помощью метода Ньютона уточнения корней, предварительно отделив корни. Находим

/(X) = V - 5Х2 -1 9а + 89; /' (X)=ЗХ2 - 1 ОХ - 19;

. 5 ± ч/ 25 + 57 5 ± 9.1 ,

>ч.2 = —^ = —-—: а, = -1.2: Х2 = 4.7.

Составим таблицу знаков функции /(X):

-1.2	4.7	+ 00
А	— X

 

sign /(X)

Из таблицы знаков видим, что уравнение имеет три действитех корня: Xie]-x; - l,2j; Х2е[— 1.2; 4,7]; Х3е[4.7; -+ оо[. ВыбсреЦ уточнения один из них. например Х2.

Уменьшим промежуток [—1,2; 4,7]. в котором находится этот к Для этого вычислим значения функции /(X) в некоторых т промежутка: /(2) = 39>0; /(3) = 14 > 0: /(4) = — 3 <0. Итак, ю Х2 содержится внутри промежутка [3. 4].

Уточнение корня производим по формуле

ПК) Г (К)

Для выбора начального приближения Х0 определим знак в' производной /" (X) в промежутке [3,4]: имеем /"(Х)=6Х—10; /" при 3<Х<4; значит, Х0 = 3.

Для вычисления значений функций и ее производной будем зовать схему Горнера. Корень определим с четырьмя верными тичными знаками.

чепия функции /(X), в табл. II — значения производной /'(X), 3fl тол - 111 производим уючнение X.

a Таблица!

rt	К	1	— 5	-10	89
0	3		3	- 6	-75
	1	_2	-25	14
1	3,63		3.63	4,9731	-87,0224
	1	-1.37	-23,9731	1.9776
т	3.75		3.75	- 4.6875	-88.8281
	1	-1.25	-23.6875	0.1719
3	3,762		3.762	- 4.6574	-88.9991
	1	-1.238	-23.6574	0,0009
4	3.7621		3.7621	- 4.65710	-89.0004
	1	- 1.2379	-23.65710	- 0,0004

Таблица II

п	К	3	-10	-19
0	3		9	- 3
		3	- 1	— 22
1	3,63		10.89	3.2307
		3	0 89	-15,7693
2	3.75		11.25	4,6875
		3	1.25	-14.3125
3	3,762		11,286	4.8379
		3	1,286	-14.1621

II	К	/(>>■)		AW'iK)
0	3	14	-22	-0,63
1	3,63	1.9776	-15,7693	-0.12
2	3,75	0,1719	-14,3125	-0.012
3	3.762	0,0009	-14,1621	-0.00006
4	3.7621

Итак, Х2« 3,7621.