Практикум по вычислительной математике (стр. 51 )

з) Метод Милна. Пусть для уравнения г' =/(.v. г), кроме начального условия у(л0)=Уо найден «начальный отрезок», т. с. значения искомой функции у(х1)=у1 в точках x, = x0 + ilI (/=1.2.3).

Последующие значения г, при /'=4, 5, ... определяют на каждом шаге следующим образом. Для предсказания используют первую формулу Милна

Используя г/фСл, находят ./,-ирсл =/(*,-. \-лрся) и производят уточнения (коррекцию) значения yf по второй формуле Милна

Абсолютная погрешность е, значения у'ор приближенно определяется по формуле

Если точность результата достаточна, то полагают у^у'ор-

2°. Решение краевой задачи для уравнения у"+р(х)у'+ q(x)y-J(x) состоит в определении значений функции у(х). удовлетворяющей данному уравнению и краевым условиям

a0j(«)+a,.iX=-4. Р. г(*)+Р,.!■'(*)=А

где |«ol +IPol + IPiMO.

Разбив отрезок [м. b ] на и равных частей с шагом Л = (Л—а); п. получают точки. v, = «+//» (/=0.1,2........................................................... и), в которых требуется найти искомые значения

л-;•(*,).

а) Метод конечных разностей. Производные заменяют конечно-разностными

отношениями; тогда для внутренних точек, т. с. при / = 1. 2........................... н — 1. выполняются

равенства

а-■ л-------------- *

В результате получается система уравнении с неизвестными i0, г,...................................... е„. Решив

эту систему, получают таблицу приближенных значений искомой функции,

б) Метод прогонки. Предварительно определяют коэффициенты уравнений

вида

г,* | 4 Wj. r,тkji'i_ j = /г/•’ (1.2 п — 1).

где

/; h • - ь "Л

 

Затем находя г элсмсшы «прямою хода»:

I

Qt, /1Л

^ о 7 * — * ,

«эс,, — я, я, /н, — А. г, ,

Наконец, выполняется «обратный ход»: находя г

Mi + Pi<„ ■</„ j

: у,-= с*(</;-.i j.,) (/ = /»-I.................. 1.0).

М+ Pl (<п - I + О

Приближенные методы решения дифференциальных уравнении в ч а сiн ы\ производных

1°. Уравнение Лапласа ^-”+^-^ = 0.

rl. v (\~

I  схема для замены уравнения Лапласа конечно-разностным уравнением:

«(.V. v) = -[m(.v—А. у) + и (.V 4-Л, 1’) + и (V, г — Л) + «(л\ \Ч /»)].

4

II  схема для замены уравнения Jlan iaca конечно-разное! ным уравнением:

а) Задача Дирихле для уравнении Лапласа заключается в нахождении функции м=и(л. г). удовлетворяющей данному уравнению внутри некоторой области G. а на границе угон области Г условию м, = ф(.\, у), где Ф(л. г) —заданная непрерывная ф\нкция

Метод сеток состоит в том. что выбирают шаг /; и строят сетку. vj = .v0 + /7». г, = 1{)-f /Л (/'=(). I. 2. ...: / = 0..1. 2. ...). покрывающую данную область G.

Выделив граничные и внутренние узлы, заменяют данное >равнение во внутренних точках конечно-разностным уравнением, используя I или II схему, а в граничных точках значения функции и(х. у) находят из дополнительного условия. Решив полученную систему, составляют таблицу значений искомой функции.

б) Процесс усреднения Лиомана применяется при решении задачи Дирихле. тля уравнения Лапласа. При пом используют формулы:

для внутренних гочек

„0.1 г„а и. „а - и, . it - и, - 1>1 1 i

«« ^ L • 1. / i * 1. i j j ш I ». j * i J (

где Ujj начальные значения внутренних точек, найденные из решения системы или взятые произвольно: для граничных точек

м° (^л)= м (.-1) — ф (Л).

где u°(Ah) начальное значение функции в точке Ah. и(А) — значение функции в точке.•!. лежащей на границе:

u*'{Ah) = u{A)-r-------

/1 + 0

где 6 расстояние между точками А и.-1А. взягое со знаком плюс, если Ah—внутренняя точка области О. и со знаком минус, если Ah внешняя точка.

по г - tU <_М

2  . Смешанная задача для уравнения теплопроводности — = состоит

Г/ (\ -

в определении функции и (л. /). удовлетворяющей данному уравнению, начальному условию и (л. 0)—/( a) O^.v^/ и краевым условиям м(0, / ) = ф(/). г/ (/. /) = ф (/). Используя метод сеток, выбирают шаг h но оси Ол и вычисляют шаг

k = air по оси Ot. а затем ст роят сегку со значениями х{ = т. tj = jk (/=0. 1. 2............................... п;

j=0, 1. 2............... к).

Значения и^ = м(Лу. ij) вычисляют гю формулам: м, о = и (л,. 0)=/ (л,) — из начального условия.

Щ] = Ф)• ип, = из краевых условий.

Для определения значений во внутренних точках применяют формулы

I

при сг=; н| >м

I  I

при б=- и-, ; + 1 = ~(Wj +1.j+4miv + »;

6  6

3°. Смешанная задача для уравнения колебания струны -

Л

в отыскании функции м(л, /), удовлетворяющей данному уравнению, начальным условиям м(.\\ 0)=/(л), m,(.v, 0)=Ф(лг), O^x^l и краевым условиям м(0. /) = ф(/), «(/. /) = ф(/).

Используя метод сеток,, выбирают шаг Л по осям Ох и Ot и строят сетку со значениями x(=ih, tj=jh (/=0,1.............................................. /»; j=0.1,2....).

Для определения значений функции ии = и(х{, t}) применяют формулы

“to =/(*/) (/=0, I, 2, ..., л) — нулевой слой;

1

мп = ~ (Л -1 +Л+ L) + А • Ф, (i=0, 1,2............ и) — первый слой;

=«|+|.0=0. 1, 2............ п: j-2, 3,...).

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 БЛОК-СХЕМЫ НЕКОТОРЫХ АЛГОРИТМОВ

Блок-схема вычислений с помощью метода хорд

Блок-схема вычисления с* метолом степенных рядов

^ Начало J

--------- 1--------

7

I х*ь, Щ I

ЯЛ	-0

I

пУ- S;»S+U„

Блок-схема решения задачи Коши метолом

ПРОГРАММЫ НЕКОТОРЫХ РАСЧЕТОВ НА МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРЕ

«ЭЛЕКТРОНИКА Б3-34»

1°. Метол итераций для системы линейных уравнений. При решении системы четырех линейных уравнении методом итераций выполняют вычисления вида

.V}fc, = ai A'i*" П + й2*!?~ U + «3-V$” 1> + 04-*4_ 1, + Я5-

Значения данных величин заносят в регистры памяти: «, —► П1; а2->П2; а3->ПЗ: «4->П4; д5-»П5; .v1*- П-»ПА: *£"П->ПВ; л$_1,-*>ПС: *£_1,-»ПД.

При вычислении. v\M используют программу: ИП1; Т - ИПЛ; х; ИП2; Т; ИПВ; х; +; ИПЗ; Т; ИПС; х; + ; Т; ИП4; ИПД; х; +; ]: ИП5; +; с/п.

Меняя содержимое регистров памяти, можно находить значения других переменных.

2°. Метод хорд для уточнения корня нелинейного уравнения с постоянным концом. Для вычислений применяют формулу

ля ‘ I —. . .(/> Лу —</■

/(/>)-/ (vn)

Вычисления выполняют, используя критерий л„. | — д„^к. где к заданная точность. Информацию распределяют но регистрам памяти: Л-»ПЛ; /'(/»)—♦ IIН: л„->П1: /(л )—*Г12.

Программа вычислений: ИП2: Т - ИПВ; |; ИП2: —: Т* ИПЛ; Т; ИП1:

—: х; /—/; ИП1: +; П1: с/п: во.

3°. Вычисление значений функции с, Л методом степенных рядов. Здесь применя-

" л

ют формулу <*Лз: У (/'„. где и«=1. ия = - мя-, (и--1. 2....).

,-п и

Вычисления выполняют, используя | {/„l^c/IO. где к заданная точность. Регистры памяти содержат: л-»ПI: «-»П2: I „-'ПЗ; У-*Г14. Первоначально в ли регистры заносят л-»П1: 0-+П2; 1 —* ПЗ: 1-*П4.

Программа вычислений: ИП2; 1: 4-; П2: ИП1: ИП2; —; ИПЗ: х. Г13; с/п: ИП4: 4; П4: с/п: во;

Программа предусматривает фиксирование отдельных слагаемых и сумм.

4°. Вычисление значений фънкннн 1 = 1. методом терапии. Составляют

I/ \ \

последовательность значении вида rrlM=- 2i„4- — ). где г0 определяется ирикид-