Практикум по вычислительной математике (стр. 20 )

A } 4*

^ f tg (at+0,2)=a2;

“} j A"2 + 2y2 = 1.

j sin (*+y) - I.5a = 0;

~} j. v2+y2=l fig at=a2:

' j0.5a2+ 2»2 = I.

J sin (a+,»’") = 1,2a - 0,2;

| 2 ■ [5] i I - V + V - = 1.

flg(.vi+0.1)=A2;

~} | 0.7a 2 + 2y 2 = 1.

sin (a + у) — 1 ,5a = 0,2;

f sin(.v+y )—

j a2 +y2 = 1.

f tg at=A'2; j 0.6 a2 + 2y 2 = I. f sin (a+у) — I,2a=0; “} j л 2+_v 2 == 1.

9v ftg(AT+0,3)=A2;

~} j 0,5a2 + 2y2 = 1. j sin (д+у)- 1.1 a=0,1; l*‘+y2= I.

Образец выполнения задания

jj f sin (a—0,6) —r = 1.6; (sin(Zv—y)—1,2*=0.4.

13.v - cos v=0,9. j 0.8a 2 + 1,5y 2 = 1.

Отделение корней произво: графически (рис. 5). Из гра<| ка видим, что система иг одно решение, заключе! в области D: 0<.v<(

— 2,2 < у< — 1,8.

Убедимся в том, что мете итераций применим для чнения решения системы, чего запишем ее в следующс виде:

х = ф! (л% v)=-cosу+0,3; у=ф2 (л\ v) = sin (д-—0,6) — 1,

Так как = 0, = cos (х—0,(

V

r. v

^■=—^sinv, ^т^ = 0, то в области D имеем

dv 3 * dv

-jeiny

 

Таким образом, условия сходимости выполняются. Вычисления производим по формулам

*„+,=-cos v’n + 0,3;

У а + 1 = sin (лв — 0,6) — 1,6.

За начальные приближения принимаем. vo = 0,15, v0=—2.

п		у»	0.6	sin (ля-0.6)	COS V'„	\cosy. J
0	0,15	-2	—0,45	-0,4350	—0,4161	-0,1384
1	0,1616	-2,035	— 0,4384	-0,4245	— 0.4477	-0,1492 1
2	0,1508	-2,0245	-0.4492	-0.4342	-0,4382	-0,1461
3	0,1539	-2,0342.	-0.4461	-0.4313	-0.4470	-0,1490
4	0,1510	-2,0313	-0,4490	-0,4341	-0.4444	-0,1481
5	0,1519	-2.0341	-0,4481	-0.4333	-0,4469	-0,1490
6	0.1510	-2.0333	-0,449	-0,4341	-0,4462	-0,1487
7	0.1513	-2.0341	-0,4487	-0.4340	-0,4469	-0,1490
8	0.1510	-2,0340

Ответ: л*0,151; г*— 2.034.

2)  Отделение корней производим графически (рис. 6). Для построения графиков функций составим таблицу значений функций Vi и г2, входящих, в первое и второе уравнения (табл. I).

Рис. 6

Таблица I Л -1.1 -1 -0.8 -0.6 -0.2 -0.4 0 0.2 0.4 0.5 1.21 1 0.64 0.36 0,04 0.16 0 0.04 0,16 0.25 O. K.*2 0,97 0,8 0.51 0.29 0,032 0.13 0 0.032 0,13 0,2 1 -0.8.*’ 0,03 0.2 0.49 0.71 0.97 0.87 1 0.97 0.87 0,8 1 — 0.8\ ~ 1.5 0.02 0.13 0.33 0.47 0.65 0,58 0.67 0.65 0.58 0,53 У 2 + 0,14 ±0.36 ±0,57 ±0.69 ±0.81 ±0,76 ±0,82 ±0.81 ±0,76 ±0,73 1.2.v -1,32 -1.2 -0,96 -0.72 -0,24 -0.48 0 0,24 0,48 0,6 0.4+1.2* -0.92 -0.8 -0.56 -0,32 0.16 -0.08 0.4 0,64 0.88 1 2.* — г -1,17 -0,93 -0,59 -0,33 0.16 -0,08 0,41 0,69 2,06 1,08 1.57 >i -1.03 -1,07 -1.01 -0,87 — 0,56 -0.72 -0.41 -0,29 -1.26 -1,28 -0,57

Значения для.* можно брать исходя из следующих условий: из первою уравнения — I ^ 1Д*+0,4^ 1. т. е. —1.16 <.*< 0,5; из второго Уравнения — >/1^25 ^.*$ у/1,25. т. с. — 1,12<л< 1,12. Таким образом, -1.12<*«0.5.

Система имеет два решения. Уточним одно из них. принадлежащее области D: 0,4<.*<0.5; - 0,76 <>•<—0,73. За начальное приближение примем.*о = 0,4; vo=-0,75. Имеем

| /•'(.*, v)=sin (2.* —_v) — 1,2.*—0,4;

{ G (.*, г)=0,8.* 2 +1,5 v 2 — 1;

п	А„	0,8.v;	я „1 к	sm(2.v„-г,)	.In)	.v«)		Д.	ч	Л-
Уп	1,5,;	cos {2.v,-.»•„)	G(.V,,	С7;{л„. г„)	g;(.v„, v„)	ч	к.
0	0.4	0.128	0,55	0,9988	0.1198	-1.1584	-0,0208	2.6197	0.2701	0.10
0,75	0,8438	0,0208	-0,0282	0,64	-2,25	0.0440	0,017
1	0,50	0,2	0,733	0,9869	-0,0131	-1,523	0.1615	3,2199	-0,0193	-0,0060
-0.733	0,8059	-0.1615	0.059	0.8	-2,199	0.0794	0.0247
'У	0,4940	0.1952	1,6963	0.9921	-0.0007	-1.4502	0,1251	2,9827	-0,0080	-0,0027
-0,7083	0.7525	-0,1251	-0,0523	0.7904	-2,1249	-0,0764	-0,0256
3	0,4913	0,1931	1,7165	0,9894	-0,0002	-1,4904	0,1452	3.1673	-0,0003	-0.0001
-0,7339	0.8079	-0.1452	0.0010	0,7861	-2,2017	0,0013	0.0004
4	0,4912
-0,7335

Ответ: .va0,491: 0.734.

i*—у) 1,2;

f F'x = 2 cos (2.v

U-l* | F'y= — cos (2.v — v);

jc;=3v.

уточнение корней проводим методом Ньютона:

лл +1 =л'я+Л„.

где Л"-Д|1": к - д;-

v„) F(x„, уп) С;.(л-„, г„) С(л*„, г„)

д* =

/•Ж, .»л) G! x(-V„, г„) с у„) ^(-Vn. .Гл) /*Ж - у„) C?(.V„, v„) c;(.v„, v„) Все вычисления производим в табл. II.

 

Работа 7

7ffr)flHMe. Используя метод Горнера, найти один из корней уравнения с шестью значащими цифрами.