Практикум по вычислительной математике (стр. 15 )

bt = bi-iх+at (/= 1, 2, 3. 4, 5); b0=a0.

В последнем столбце таблицы получаются значения многочлена Округляя их до тысячных долей, получим ответ: Xi Р(^) 0,5 0.263 0,75 0.160 1,00 0.505 1.25 2.373 1.50 4.375 1,75 9,670 2.00 19,160

Работа 2

Задание. Вычислить значения функций при заданных значениях гумента методом разложения в ряд с точностью до 14

1)  у = ех при а) л, =0.716 + 0.043«; б) х2 = 2.834—0,028и;

2)  'г = In (I + х) при х = 0.122 + 0.018м;

3)  г = sin л и у=cos л при а) Х\ =0.232+0,012«; б) д-2 = 0,747—0.014/». Злссь »=1. 2. 3 30. т. с. соответствует номеру варианта.

Образец выполнения задания

1)  г=с, х при: a) .v, =0,826; б) лг2 = 2.417;

2)  у=In (I + .v) при х=0.437;

3)  г=sin л" и v=cos. v при: а) л= 0.476; б) .*=0.684.

1)  Воспользуемся разложением

= + +И2+ ... + Mi...»

где мо=1, (i=l, 2, 3,...).

Вычисление отдельных слагаемых продолжаем до тех пор, пока] будет выполнено неравенство |«;|<е, где е=10-6.

Составим таблицу значения отдельных слагаемых,

а) л* = 0,826

1	Mf	1	«I
0	1	6	0,0004411
1	0,826	7	0.0000520
2	0,341138	8	0,0000053
3	0,09392666	9	0,0000004
4	0,01939586	10	0,0000000
5	0,003200420

Искомое значение представляет собой следующую сумму: 10

^0.826^ £ щ = 2 28416378%2.284164.

б) л-=2!41°7

1	«i	i	щ
0	1	9	0.0077575SH
1	2,417	10	0,001875011
2	2,9209445	11	0.000411993
3	2.3533076	12	0,00008298
4	1,4219861	13	0,000015431
5	0,68738808	14	0,0000026»
6	0,27690283	15	0,0000004»
7	0,09561059
8	0,02888635

е2Л11х X м,= 11,2121722s: 11,212172.

i — О

т) воспользуемся равенством

If! ( 1 + Л") = Mj +М2 "Ь 1*3 + ... + Mi + ■

Wl=.v. М,-=--------- Hi-! (1=1. 2, 3, ...).

Значения слагаемых занесем в таблицу

/	м.	/	«i
1	0,437	9	0,00006458
	-0.0954845	10	-0.00002540
•»	0,02781782	11	0,00001009
4	-0,00911729	12	-0,00000404
S	0,003187440	13	0.00000163
6	-0.00116075	14	-0.00000066
7	0.00043478	15	0.00000027
8	-0,00016625	16	-0.00000011
		17	0.00000005

17

In 1.437% X Hi - 0,36255762% 0,362558. i = 1

3)  Будем использовать равенства

Sin Л' = Mo 4“ М[ 4“ U2 4“ +Hj+ ...,

v “

где H0=.v. н,= -——— м;-1 (/=К 2, 3,...);

2i{2/+ 1)

COS. Y = Fo + Vi+r2+ — +t*i+ ....

.2

где t() = 1, fi= л t;,_i (/=1, 2, 3, ...).

Составим таблицу значений слагаемых вида м,- и г,-,

а) л =0,476

/	М.	1‘,
0	0,476	I
1	-0.01797503	-0.113288
2	0.00020364	0.00213903
3	-0,00000110	-0.00001615
4	0,000000003	0.00000007

3

sin 0,476% X ^ = 0,45822751% 0.458228; i = 0

4

cos 0,476% £ l, i=0,88883495% 0.888835.

jj f = 0

контроля правильности вычислений найдем сумму квадратов °лучсцных значений:

sin20,476+cos20,476 = 0,2099729+0,79002766= 1,0000006* 1.

Близость суммы к 1 свидетельствует о правильности вычислений,

б) л-= 0,684.

/	Mi	Г|
0	0,684	1
1	-0,05333558	-0,233928
2	0,00124767	0,00912038
3	-0,00001390	-0,00014223
4	0,00000009	0,00000119
5		-0,00000001

sin 0,684% £ н,* 0,63189828 *0,631898, i = о

5

cos0,684* Y, *ч* 0,7750513 *0,775051;

i=0

sin2 0,684+cos2 0,684 = 0,39929508 + 0,60070405 = 0,99999913* 1.

Работа 3

Задание. Вычислить значения функций при заданных значениях гумента методом итераций с шестью верными знача! цифрами. Для определения начальных значений использо! метод прикидки. Выполнить проверку результата.

1)  у = yjx при а) х! =7,86+ 1,27л; б) .v2 = 0,017 + 0,012л;

1

2)  г=—= при а) х1 = 12.55 + 0,213л; б) х2 = 0.247 + 0,022л;

у/х

3)  у=3у/х при a) .Vj = 18.352 + 0,343м; б) лч =0,037 + 0.024и.

Здесь #1=1. 2, 3, 30, т. е. соответствует номеру варианта.

Образец выполнения задания

1)  у=у/х при а) хх = 14,76; б) л, =0,142;

1

2)  v——_ при а) л, = 17,32; б) л, = 0,464;

у/х

3)  r=3v/.v при а) .V, =26.15: б) л, = 0.078.

‘ Для решения задачи методом итераций составляем последовать ность приближенных значений искомой функции у0, ylm у2, V3, ..., сходящуюся к точному значению у(х). Вычисления продолжаем) сходимости с заданной точностью.

]) При вычислении значений функций v(.v) = N/.v члены последователь - и определяем по формуле

Г,+ 1=;^г+^ (/=0, 1, 2, 3, ...),

гдС I, подбираем прикидкой с одной или двумя верными цифрами.

а) При х = 14,76 имеем ri+, =^v,+ ——-J; пусть v0 = 3,8. Состг таблицу значений членов последовательности:

/	>ч>
0	3,8
1	3,842105
2	3.841874
3	3.841874

Искомым значением является ^/14,76 %г3 % 3,84187.

Для проверки найдем квадрат полученного числа: 3,841872 = 14.759965% 14,76.

\( 0.142\

б)---------------------------------------- При .*=0,142 имеем vf+i=-l v,-t J: пусть го = 0,4. Значения

членов последовательности приведены в таблице:

i	У.
0	0,4
1	0.3775
2	0.3768295
3	0.3768289
4	0,3768289

Искомое значение есть ^/о, 142 % 0,376829.

Проверка: 0,3768292 = 0,1420001 %0.142.

2)  При вычислении значений функции у — —L: члены последователь - ности определяем по формуле

у1 + , ='-j(3-.vrf) (/=0, I. 2. 3. ...)

а) л = 17,32; го=0,24; *+1=|(3-l7.32yf).

Составим таблицу значений членов последовательности:

г	V.
0	0,24
1	0,2402842
2	0.2402846
3	0,2402847

0,240285. Для проверки воет

У17.32

зуемся равенством лт 2 = 1: имеем 17,32* 0,2402852 = 1,0000028 * 1. б) л=0.464: г,,= 1.5; г,,, =^(3-0.464г,2).

Л*

Составим таблицу: