Практикум по вычислительной математике (стр. 26 )

Образец выполнения задания

2.2  1 0.5 2

1  1.3 2 I 0.5 2 0.5 1.6

2  I 1.6 2

1- Коэффициенты характеристического уравнения матрицы А опре - Дс-1я! отея как элементы первой строки матрицы Фробениуса Р, подобной данной матрице А. Матрицу Р найдем в результате трех преобразований

п°Добия:

Р = М -1 * М -1 - М11 ■ Л М3 ■ м2 • м,.

^'и преобразования осуществляются в табл. 1.

Округляя значения коэффициентов до четырех десятичных знаков. ,\чим уравнение

ПО-1/

X4 - 6Л3 - 0.2Х2 + 12J35A. - 2.7616 = 0.

^т0 уравнение было решено выше (см. с. 93); его корни

X, = 5,652; >0 = 1,545; Х3=-1,420; Х4 = 0.2226

2  С обственный вектор Xh соответстветствующий числу kh определя­йся равенством

^ я /л',

Х, = М3 • Л/, • л/, ■ У,, где Г,=( ?■Г

It'

При )гом отдельные координаты вектора ^=(л,, .v2j Д'з. v4l) находят­ся по формулам

л*1, = т у, к f - f т12к г + т 13Xt + m x 4.

A*2i = Wl2i V + "H W23^f “I-Wb-Ji

Л'з,- = /Нз1.\* I i 4* W31-V 21 + W33^i + w,34.

.V4f = 1

Вычисление собственных векторов приведено в табл. II

Та 6 л и на II К Л/. Л/, м3 У, V, ■Г, 1 * 1 r-J -0.231125 1,078582 •1.651001 1,158706 -0.351515 0,242424 -1,060606 -0.681212 -1,25 -0.625 0.625 -1,25 180.5537 31,9451 5,652 1 0.8977 0.7529 0.6898 1 0.898 0.753 0,690 1 1.545 -0,231125 1,078582 1.651001 -1,158706 -0.351515 0.242424 -1.060606 -0.681212 -1.25 -0.625 0.625 -1,25 3.6880 2.3870 1.545 1 3.1143 -2.8359 -2,4048 1 1 -0.911 -0.772 -0.440 % 0.2226 -0.231125 1.078582 1,651001 -1.158706 -0.351515 0.242424 -1.060606 -0681212 -1.25 -0.625 0.625 -1.25 0.01103 0.4955 0,2226 1 -0.7403 -0.6451 0.2177 1 -0.740 -0.645 0.218 1 "1-420 -0.231125 1,078582 1,651001 -1,158706 -0.351515 0.242424 -1.060606 -0,681212 -1.25 -0,625 0,625 -1,25 -2.8633 2.0164 - 1.420 1 —0.6665 1,5480 -2.2719 1 0.293 -0.681 1 -0.440

Работа 4

Задание. Используя метод Леверрье — Фаддеева, найти соб ные числа и собственные векторы матрицы. Соб ные числа определить с четырьмя верными ми, а собственные векторы — с тремя десяти знаками.

При выполнении работы воспользоваться вариантами боты 2.

Образец выполнения задания

2.2  2 0,5 2

1 1,3 2 1

0.  5 2 0,5 1.6 /

■У I 1.6 2

1.  Коэффициенты характеристического уравнения X4—р—р21 р3Х—/>4=0 определяются при помощи последовательности мат построенной следующим образом:

А\ = Л; р i=Sp/4i; Вх-Ах-р^Е\

^2 — А В], Pl~ ^ 2 ~ А 2 P 2^'

—  АВ2* Рз= ^ !» &i = A$—p$E\

Sp Аа

А^ — АВЪ\ /?4 —

Эти вычисления удобно располагать в таблице (см. табл. I).

В результате получим уравнение

X4 —6Х3 —0.2ХЧ 12Л35Х —2,7616=0,

корнями которого, как это было установлено выше, служат >м =5,652; Х2 = 1,545; Х3 = — 1.420: Х4=0,2226.

2. Собственный вектор Xh соответствующий числ^. )ч. опрсде; по формуле

= A, f с+X, f b, + ?v,,- b2 +

где ё—какой-либо единичный вектор, /Г1т Ь2. />3— одноименные с ё’ торы матриц Вх, В2, В3.

Последовательно вычисляем векторы

й0« = w 1; — X -/7оI + /),•; i/2i = X, йи + Ьг\ Нд,' = Х - = ^й2{-^-hy

Эти вычисления приведены в таблице (см. табл. II).

Л,	в,
1 "»	1	0.5	2	-3.8	1	0.5	2
]	КЗ	*>	2	1	-4.7	2	I
0.5	1	0.5	1.6	0.5	2	-5.5	Кб
л	1	1.6	2	2	1	1.6	-4
	/V	= 6
- v 11				-3.31	0.5	3.55	-1.8
	-0.11			0.5	-0.31	-6.3	2.5
		4.06		3.55	-6.3	3,86	-2.6
			-0.44	-1.8	2.5	-2.6	-0.64

	н о ‘■U	:2 = 0.2
-S.607	-10.003	-13.055	-6,54	4.128 2.64 -1.76 -4,04	2,64 2.732 0,48 -4,39	-1,76 0.48 -0.32 1,776	-4,04 -4.39 1.776 6.195
/;Л= -38.205:3= -12.735
2.7616	2.7616	2.7616	2.7616

/>4 = 2.7616

Т а б л ица II

		Hli		a3i=Xi	V;
	1	1,852	7.1575	45,5892	0.897
	0	I	6,152	37,4111	0,763
5.652	0	0,5	6.3760	34,2772	0,690
	0	2	9.504	49,6766	1
	1	-2.255	-6.7940	-6.3687	1
	0	1	2,045	5.7995	-0,911
1.545	0	0.5	4.3225	4.9183	-0,772
	0	2	1,290	-2.0470	0.321
	0	1	-0,92	3,9464	0.293
	1	-6.12	8,3804	-9.1682	-0,681
- 1,420	0	2	-9.14	13.4588	1
	0	I	1.08	-5.9236	-0.440
	0	1	0,7226	2.8009	-0.740
	1	-4.4774	-1,3067	2.4411	-0.645
0.2226	0	2	— 5.8548	-0.8233	0,218
	0	1	2.7226	-3.7839	1

Работа 5

Задание. Используя метод итераций, определить первое собственное число матрицы (наибольшее по модулю) с пятью-шестью верными цифрами. Зачем найти соответствующий ему со­бственный вектор, имеющий первую норму, равную 1 (ко­ординаты вектора вычислить с тремя десятичными знаками).

2.4  1 1.4'

Л I. .4 = 1 I 2.6 1.1 |. № 2. Л = \ Г 2.9 L4

1.4  1.4 3.4,

1.3  0,4 0.5 \ /1.6 0.7 0,8'

ЛЗ. Л = I 0.4 1.3 0.3 . №4. А=[ 0.7 1.6 0.3

0.  5 0.3 1.3/ V0.8 0.3 1,6,

2.2  1 1.2 \ /2.5 1 1.5'

Л 5. .-1 = 1 I 2.7 1.2 ). № 6. Л = 1 3 1.5

1.2  1.2 3.2/ \ 1,5 1,5 3.5,

1.4  0.5 0,6 \ /1.7 0.8 0,9 \

Л 7. .4 = ( 0,5 1.4 0.3 . № 8. А=[ 0.8 0.7 0,3 .

0,  6 0.3 1.4/ \0.9 0.3 1,7/

2.6 1 1,6

Л9. .4 = 1 1 2.8 1.3 . № 10. Л = \ 1 3.1 1.6

1,6 1.6 3.6,

1,8 0,9 1

ЯП. А = \ 1 4 2.5 I. № 12. А = \ 0,9 1,8 0.3

2.5  2,5 4.5/ \1 0.3 1,8

1.5  0.6 0,7 \ /2.7 1 1,7 13. Л = [ 0,6 1.5 0,3 . № 14. А = { 1 3,2 1,7

.0,7 0.3 1,5/ \ 1,7 1,7 3,7.

1  4 1 1 _ I з\ /3 1 22

Л15. А = [ \,2 0.9 o! iY № 16. А = [ I 3.7 2,2

-1,3 0.4 0.8/ \ 2.2 2.2 4,2.

2.8  1 1,8 \ / 2.4 1.2 -0.3 №17. А = [ 1 3,3 1,8 . № 18. А = [ 1,2 1.9 1.4

1.8  1.8 f8/ V-0,3 1.4 0.8.