Парадигма развития науки (стр. 11 )

получаем

(18.34)

(18.35)

(18.36)

где

(18.37)

Если при решении методом последовательных прибли­жений уравнения (18.36) нельзя получить такое значение а*, при котором достигается минимум квадратичной формы (18.32) или получится а*, при котором из (18.34) b>1, необходимо принять b = 1. В этом случае аппрокси­мирующая функция траектории результатов испытаний принимает вид

(18.38)

После преобразования уравнения правдоподобия получим

(18.39)

(18.40)

Таким образом, в построенной модели роста вероятности введены предположения, что все результаты испытаний обучающейся системы являются независимыми, а их по­следовательность представляет собой реализацию неста­ционарного случайного процесса, математическое ожида­ние которого изменяется по (18.27).

Можно показать, что определение вероятности по предлагаемой модели (18.38) проводится только для тех обучающихся систем, траектории которых удовлетворяют условию

(18.41)

Только в этом случае проявляется возрастающий харак­тер по сравнению с линейным характером траектории ре­зультатов испытаний и удовлетворяются условия (18.28) для коэффициентов а, b и с.

Если неравенство (18.41) не выполнено, за оценку вероятности успешной работы следует считать ее среднее значение (18.20).

4. Определение доверительных интервалов для Рi*(E1) и проверка согласия модели с опытными данными. Дове­рительные интервалы для Рi*(E1) можно получить только в случае испытаний серии из п (v = l, 2, ..., п) обучающих­ся систем. Тогда на каждом i-м (i=1, 2, ..., N) этапе по (18.29) получаем п оценок Р*ν,i и (1—2а) доверительные интервалы находятся обычным способом:

(18.42)

где

kα — квантиль распределения Стьюдента с п—1 степеня­ми свободы,

α — уровень значимости.

Если имеется одна траектория результатов испытаний (18.19), то для использования формул (18.42) необходимо произвести построение большого числа п «моделей» тра­екторий результатов испытаний по полученной последо­вательности значений вероятности (18.29). В этом случае используются таблицы равномерно распределенных слу­чайных чисел (например, от 00 до 99). Последователь­ность из N чисел сравнивается с текущей величиной ве­роятности Р* (18.29) и за результат испытания принима­ется величина

(18.43)

В дальнейшем «модели» траекторий подвергаются статистической обработке по предложенной методике. В результате получается п оценок вероятности успешной работы Р* v,i (v=1,…, п) и для определения доверитель­ных интервалов используется формула (18.42).

Для проверки согласия модели с опытными данными используются оценки текущей средней вероятности успешной работы, которые можно получить двумя спосо­бами:

(18.44)

и

(18.45)

В (18.45) Р*j(Е1) определяются по (18.29).

Таким образом, оценку Р*icp(Е1) определяем по получен­ной траектории, а Р*i(Е1) из по­строенной модели.

Так как в модели предполага­ется отсутствие корреляционных связей, для проверки согласия между (18.44) и (18.45) прини­мается двусторонний критерий знаков, который основан на рас­пределении чисел μ+ и μ- разно­стей Р*i - Р*icp. Если при за­данном сравнительно малом уровне значимости α критерий покажет, что оценка средней ве­роятности успешной работы (18.44) и (18.45) не противоречит гипотезе о принадлежности к одному и тому же распределе­нию, то можно считать, что по­строенная модель согласуется с исходными экспериментальными данными.

Пример. Проведем сравни­тельный расчет вероятности ус­пешной работы обучающейся си­стемы предложенным методом и по частоте успешных испытаний. Результаты испытаний ξi (18.18) и траектория ki (18.18) приведены в табл. 18.1.

Таблица 18.1

Для данной траектории выполнено условие (18.41), и по­этому расчет вероятности Р*i(Е1) следует проводить предложен­ным методом. По уравнениям (18.34), (18.35), (18.36) были определены оценки параметров а, b и с аппроксимирующей функции траектории успеш­ных испытаний (18.27):

Аппроксимация траектории ki с учетом (18.28) принима­ет вид

Графики траектории результатов испытаний ki и ее ап­проксимация ki* представлены на рис. 18.5.

Pис. 18.5

Текущая оценка вероятности успешной работы Рi* определяется по (18.29):

При целых значениях i ее график дан на рис. 18.6.

Для определения доверительных интервалов для оцен­ки Р*N проведено построение 50 моделей траекторий ре­зультатов испытаний и для них были вычислены оценки Р*ν,N по (18.30). В результате проведенных расчетов по формуле (18.44) получено

При уровне значимости α = 0,05 из таблиц распределения Стьюдента с 49 степенями свободы находим kα = 1,68, поэтому из (18.44) следует, что 90% доверительный ин­тервал для P*N равен

Для проверки согласия построенной модели и стати­стических данных проведено вычисление оценок текущей средней вероятности успешной работы P*i,ср и P*i по (18.44) и (18.45) соответственно (рис. 18.6).

Pис. 18.6

Числа отрицательных и положительных разностей (*i— Pi,cp) со­ответственно равны μ-= 14, μ+= 18 (μ--+ μ+=32), так как при i=1 P*i=P*i,cp=0. При уровне значимости α = 0,05 двусторонний критерий знаков показывает, что построен­ная модель роста вероятности успешной работы не про­тиворечит экспериментальным данным.

Разность между оценкой P*N =0,642 характеризует эффективность обучения данной системы в испытаниях. Поэтому использование в качестве оценки вероятности успешной работы относительно числа успешных испыта­ний P*N,cp приводит к необоснованному затягиванию этапа испытаний, которые ведутся до достижения требу­емого уровня вероятности успешной работы.

19. Математичекое моделирование систем научных исследований

19.1. Математичекое моделирование систем научных исследований рядом Винера

Вводные замечания. В самом общем случае систе­ма научных исследований может быть описана весьма сложными соотношения­ми. Остановимся на описании нелинейных систе­ма научных исследований с постоянными параметрами. Систематиче­ский подход к характеризации нелинейных систем при помощи явного описания зависимости между входом и выходом первым осуществил Н. Винер, используя теорию рядов Вольтерра.

Концепция, которая в этом случае развивается, состоит в том, что в качестве математического эквивален­та системы научных исследований будет рассматриваться функционал.

Известно, что функция f(x) каждому значению независимого перемен­ного х ставит в соответствие некоторое число. Функцио­нал же F[x(t)] ставит в соответствие каждой функции x(t) число и определен в некоторой области функцио­нального пространства.

Аналогично система научных исследований ставит в соответствие функции (предыстории входного воздействия) некоторое число, а именно, выходную реакцию.

Этот подход сво­дит задачу описания системы научных исследований с заданным классом вход­ных воздействий к задаче построения функционала, задан­ного на некотором классе функций.