Парадигма развития науки (стр. 12 )

Рассмотрим метод, предлагающий систематический аналитический подход к зада­че описания непрерывных нелинейных систем научных исследований.

В основу метода можно положить описание аналити­ческих функционалов с помощью ряда Вольтерра:

(19.1)

где η — область интегрирования, т. е. область, на которой определена функция x(t). Фреше доказал, что лю­бой непрерывный функционал y[x(t)], определенный на множестве функций {x(t)}, областью определения кото­рых является интервал [а, b], может быть представлен интегралами Вольтерра. Бриллиант доказал эту теорему для бесконечного интервала. Суть такого опи­сания состоит в том, что вместо явного выражения для абстрактной системы научных исследований отыскивается метод ее аппроксима­ции, который начинается с простых элементов, а затем при постепенном усложнении он дает возможность ап­проксимировать систему научных исследований с желаемой точностью.

Для описания системы научных исследований по существу необходимо знание ядер ряда

Ортогональные функционалы Винера. Далее мы рассмотрим, каким образом можно построить математи­ческую модель системы научных исследований на основе использования при этом ряда из ортогональных функционалов Винера и когда x(t) является белым гауссовым процессом.

Развитие винеровских ортогональных функционалов позволило впервые записать однородные и неоднородные функционалы, например, однородный функционал степе­ни п есть

(19.2)

и неоднородный функционал степени п, представляющий собой сумму функционалов,

(19.3)

В качестве первого шага при получении ортогональ­ных функционалов для белого гауссова процесса x(t) нужно брать неоднородный функционал первой степени

(19.4)

и определить k0, удовлетворяющее условию, чтобы (19.4) было ортогональным любой константе «K», что означает:

(19.5)

Здесь ядро первого порядка в (19.5) обозначено через k1 и константа через k0 с тем, чтобы избежать путаницы с h1 и h0 в (19.1). Будем называть hn в (19.1) ядром Вольтерра и k1 в (19.5) и другие k в выражениях ядер высо­кого порядка — ядрами Винера.

Следующим шагом надо брать неоднородный функ­ционал второй степени

(19.6)

и определять k1(2) (т. е. ядро первого порядка в функцио­нале второй степени) и k0(2) в зависимости для k2, удов­летворяющими условию, чтобы (19.6) было ортогональ­ным любой константе и любому функционалу первой сте­пени.

Продолжая этот процесс, получаем неоднородный функционал п-й степени и kn-1(n), kn-2(n),. . ., k0(n ) в зависимости для kn при условии, что неоднородный функ­ционал будет ортогональным любой константе и всем од­нородным функционалам степени, меньшей п.

Пусть корреляционная функция Rx(τ) белого гауссо­ва процесса есть

(19.7)

где N — const, δ(τ)—дельта-функция. Спектральная плотность такого процесса есть

(19.8)

Процедура ортогонализации, только что описанная выше, дает для функционала (19.4), удовлетворяющего (19.5), функционал вида

(19.9)

Функционал Gi[k1, x(t)] будем называть G-функционалом Винера первой степени. А для (19.6), удовлетворяющего требованию, приведенному непосредственно после (19.6), получим функционал Винера второй степени:

(19.10)

и т. д.

В результате ортогонализации постоянный член мож­но записать в виде

G0[k0, x(t)] = k0 (19.11)

Н. Винер построил ряд из ортогональных функционалов и для случая, когда воздействие x(t) представляет собой бе­лый гауссов процесс, выразил реакцию нелиней­ной системы через воздействие с помощью этого ряда:

(19.12)

где {kn}—множество ядер, {Gn}—множество ортого­нальных функционалов. Ортогональное свойство этих функционалов выражается тем, что среднее по времени произведения GmGn равно соотношению

(19.13)

Пример. Перечислим первые четыре G-функционала:

(19.14)

Старшим членом функционала п-й степени Gn явля­ется интеграл

(19.15)

который представляет собой однородный функционал п-го порядка. Другими же слагаемыми функционалами Gn будут однородные функционалы степени меньше п, ядра которых выводятся из ядра старшего члена, так что для воздействия x(t) функционал Gn является ортогональным относительно всех функционалов степени, меньшей п. Это можно видеть в формулах (19.14) для первых четырех функционалов G.

Винер показал, что коэффициенты функционалов Gn представляют собой коэффициенты полинома Эрмита:

(19.16)

где и — действительная переменная, а Спт — биноми­альные коэффициенты.

Таким образом, ряд из ортогональных G-функционалов Винера может быть использован для моделирования не­линейных систем научных исследований, и если теперь рассмотреть ряд (19.12), то можно видеть, что определение ядер Винера {kn} будет представлять собой основную проблему при исследовании нелинейных систем научных исследований. Винер предложил разлагать ядра {kn} в ряд ортого­нальных функций таких, как функции Лагерра. Ес­ли, например, {φk(τ)} представляет собой множество функций Лагера, то ядра {kn} можно представить в виде

(19.17)

Определение коэффициентов разложения Лагерра k, приводящее к определению G-функционалов, осуществля­ется системой измерений. Существует также другой способ определения ядер Винера, основанный на использовании взаимной корре­ляции между воздействием и реакцией системы научных исследований. В дальнейшем рассмотрим именно эти два способа и по­кажем возможность их практического использования.

Суть исследования систем научных исследований теперь со­стоит в том, что, либо определив коэффициенты разло­жения ядер по функциям Лагерра, либо, определив яд­ра непосредственно, можно вычислить реакцию системы научных исследований на любой входной исследовательский процесс.

19.2. Моделирование систем научных исследований сетями Петри

В связи с широким использованием параллельных и распре­деленных систем научных исследований особую актуальность приобретают дискретные структуры, представляющие параллельные исследовательские процессы. Аппа­ратом описания сложных систем научных исследований, взаимодействующих с исследовательскими процессами, явля­ются формальные системы научных исследований типа сетей Петри, моделирующие дина­мические свойства систем научных исследований.

Формализм сетей Петри общего вида основан на понятии комплекта, являющемся в некотором роде обобщением понятия множества. Как и множество, комплект — это набор элементов, но всякий элемент может входить в него более одного раза. Иначе говоря, отношение вклю­чения, связывающее элементы и множества, заменяется на функцию числа экземпляров элемента в комплекте, которая обозначается как #(х, В) (читается: «число х в комплекте В»).

Множество — частный случай комплекта.

Многие понятия теории множеств распространяются и на комплекты. Так, пустой комплект аналогичен пустому множеству. Мощность комплекта есть общее число экземпляров элементов в комплекте. Комплект А включен в комплект В (является подкомплектом), если для всякого х # (х, А) ≤ # (х, В). С помощью функции # легко опре­деляются операции над комплектами:

- для объединения комплектов

А и В # (х, A В) = max(# (х, А), # (х, В));

- для пересечения комплектов

А и В # (х, А В) = min (# (х, А), # (х, В));