Парадигма развития науки (стр. 8 )

Сформулируем более строго высказанные соображе­ния. Зададим поле в декартовой системе координат OXYZ, и пусть ее начало О совпадает с положением то­чечного источника, создающего поле. В общем случае система координат может перемещаться так, чтобы оси координат оставались параллельными самим себе. В j-й точке поля с координатами XjYjZj может быть зарегист­рирована реализация стационарного процесса, соответст­вующая, например, изменению какой-либо характеристики поля xсj(i). Такие реализации, вообще говоря, могут быть зарегистрированы и в других точках. Теперь пусть в системе OXYZ имеется кривая, описываемая функцией f(x, у, z), и j-е (j = 1, 2, ..., п) точки принадлежат этой функции. Пусть также измеритель, регистрирующий ту же самую составляющую поля, что и при регистрации в точке, проходит N раз кривую f(х, у, z) с одной и той же скоростью v(t) в каждой реализации нестационарного процесса Xн(t). Рассмотрим совокупность значений слу­чайного процесса в момент времени tj, соответствующий точке с координатами xjyjzj. Нетрудно заметить, что эти значения принадлежат реализации xсj(λ) стационарного процесса Xсj(λ) по определению. Если взять какой-либо другой момент времени tk, то ему соответствует реализа­ция хck(λ). Естественно, что совокупности значений в мо­менты времени tj и tk статистически связаны, и поэтому реализации стационарных процессов в точках j и k должны быть зарегистрированы на одном и том же интервале времени с общим началом отсчета.

В общем случае начало отсчета каждой последующей реализации стационарного процесса может быть сдвину­то в зависимости от скорости движения измерителя по кривой f и от расстояния между точками, в которых про­исходит измерение реализаций. Если, например, функция f есть прямая линия, то сдвиг начала отсчета ∆λ можно получить как

где l— линейное расстояние между точками, в которых получены реализации, vcp—средняя скорость движения измерителя по траектории между точками.

Таким образом, исходя из концепции поля можно оп­ределить принцип и построить метод исследования нестацио­нарных случайных процессов.

2. Типы нестационарностей. В соответствии с определе­нием реализации, измеренные в любой точке поля, при­надлежат стационарному случайному процессу. Однако в указанных реализациях практически могут быть неслу­чайные составляющие. Они обычно вызваны детермини­рованным функционированием источника поля и могут быть либо гармоническими, либо функциями времени произвольного вида. В этих случаях целесообразно ис­ключать детерминированную составляющую из результа­тов измерения каждой реализации.

Вообще говоря, можно рассматривать нестационар­ность двух типов: во-первых, когда источник поля нахо­дится в некоторых фиксированных условиях и нестацио­нарность определяется относительным сближением источ­ника и измерителя при его движении в поле; во-вторых, когда условия, в которых находится источник, изменяют­ся случайным образом. Мы рассмотрим задачу изучения статистических характеристик нестационарного случайно­го процесса для первого случая.

3. Обоснование принципа. Наиболее полной характе­ристикой случайного процесса является п-мерная функ­ция распределения вероятностей. Для нестационарного случайного процесса эта функция имеет вид

(18.1)

где Р — функция распределения, x1(t1), .... xn(tn) —зна­чения случайного процесса в соответствующие моменты времени t1, ...., tn.

Будем рассматривать далее случай независимых реа­лизаций нестационарного процесса Xn(t), предполагая также нормальность функции Р. Учитывая, что переход от п-мерного случая к двумерному и наоборот при таких предположениях не представляет принципиальных труд­ностей, будем в дальнейшем рассматривать лишь те ха­рактеристики, которые связаны с одномерной и двумер­ной плотностью распределения.

Действительно, двумерная плотность, очевидно, выте­кает из (18.1), среднее же значение процесса Xn(t) равно

(18.2)

дисперсия —

(18.3)

а корреляционная функция

(18.4)

где р(х, t) и р(х1, t1; х2, t2) — одномерная и двумерная плотности вероятности.

Поскольку в реальных задачах, как правило, имеют дело с оценками (18.2), (18.3), (18.4), полученными по выборке, состоящей из N реализаций и при представле­нии аргумента в виде конечного множества значений tj (j=1, .... п), то для оценок запишем:

(18.5)

и

(18.6)

(18.7)

Дальнейшее изложение будем вести, опираясь в ос­новном на формулы (18.5), (18.6), (18.7), так как именно эти формулы, как правило, используются при обработке.

В формулах (18.5), (18.6) Xi(tj) представляет собой зна­чение случайной величины Xi(tj), соответствующей сово­купности значений случайного процесса, взятой в момент tj, а в формуле (18.7) хi(tj)хi(tk) есть произведение зна­чений случайной величины Xi, взятых в моменты tj и tk для одной и той же реализации нестационарного про­цесса.

Теперь введем новый аргумент λ и представим случай­ные величины Хi(tj) и Хi(tk) в виде дискретных последо­вательностей со значениями и , где i=1,...,n — число реализаций нестационарного случайного процесса. Осреднив последовательность хi(λ i) и

× по аргументу λ (осреднение по λ обозначим чертой сверху), получим зависимости

(18.8)

и

(18.9)

поскольку осредняются те же самые значения случайных величин, что в (18.5) и (18.7). При осреднении по λ не­обходимо учитывать лишь то, что реализации при­надлежат стационарному случайному процессу.

Формулы (18.8) и (18.9) можно написать иначе, если предположить, что значения случайных величин являют­ся непрерывными функциями λ:

(18.10)

(18.11)

Теперь, возвращаясь к концепции поля, можно ут­верждать следующее: если в двух точках поля, соответст­вующих tj (j=1, ..., п) и

tk (k=1, .... п), произвести одно­временные измерения по аргументу λ, то на основании формул (18.8), (18.9) или (18.10) можно получить оцен­ки величин (18.5), (18.6) и (18.7) для нестационарного случайного процесса.

Так, например, комбинируя значениями индексов j и k и проводя измерения в соответствующих точках, можно получить корреляционную функцию нестационарного слу­чайного процесса, представив ее в виде, показанном на рис. 18.1.

Рис. 18.1

На этом рисунке, например, ординаты I и II со­ответствуют значениям x(t1, t2) и Rx(t1, t2) кор­реляционной функции. Нетрудно заметить, что оценка корреляционной функции (18.9) представ­ляет собой набор значе­ний коэффициентов вза­имной корреляции между реализациями, получен­ными в точках поля с координатами, соответст­вующими моментам вре­мени tj и tk.

Рассмотренный слу­чай, когда измерение производится в двух точках поля, можно обобщить, если производить измерения в п точках поля одновременно. Так, например, если произвести измерения в точках, со­ответствующих моментам времени tj, tk и tl, то можно оценить момент третьего порядка и т. д.

18.3. Оценки эффективности изучения нестационарного процесса

1. Оценка значений корреляционной функции. Помимо основного достоинства рассматриваемого принципа, поз­воляющего получить характеристики нестационарного случайного процесса путем проведения измерений в неко­торых стационарных условиях, применение этого принци­па дает возможность исключить случайные погрешности, связанные с работой измерительной аппаратуры или обу­словленные другими факторами, не коррелированными либо слабо коррелированными с измеряемой величиной.