Парадигма развития науки (стр. 18 )

(19.53)

Среднее от произведения сигналов типа белый шум мо­жет быть заменено произведением средних, взятых во все­возможных комбинациях пар переменных. С другой сто­роны, в формуле (19.52) число переменных σп на две единицы больше, чем переменных τj. Поэтому при усред­нении в (19.53) для равных между собой σп возникают две δ-функции или больше. Таким образом, для четных значений т и п больше двух получим

(19.54)

Если же т и п будут противоположной четности, то из-за свойств среднего от произведения нечетного числа си­гналов типа белый шум, будет равно нулю. Если т и п нечетны, то, рассуждая аналогично (когда т и п четны), получаем

(19.55)

Таким образом, окончательно получаем

(19.56)

Хотя (19.54), (19.55), (19.56) и не позволяют определять ядра при равных значениях времени запаздывания, однако всегда можно сколь угодно приблизить эти значения. Однако попытаемся снять указанное ограничение. Огра­ничение на запаздывание σi накладывается при опреде­лении ядер порядка выше первого. Для ядра второго по­рядка дельта-функция возникает из-за усреднения (10.44). Поэтому если из реакции системы научных исследований y(t) вы­честь G0 = (это возможно, поскольку G0 вычисляется раньше, чем G2), то дельта-функция исчезает и будет по­лучено соотношение

(19.57)

или

(19.58)

Аналогично для п>2 дельта-функции возникают из-за ус­реднения функционалов (все они определяются раньше, чем Gn)

(19.59)

причем равенство (19.59) оказывается справедливым для всех σi

(i= 1, 2, ..., п).

Определение ядер Винера при не белом процессе.

Во многих задачах при исследовании систем научных исследований спектр воздействия может отличаться от спектра белого гауссова процесса, иметь, например, дроб­но-рациональную спектральную плотность. Приведем обобщение изложенной теории на этот случай. Рассмот­рим систему Θ (рис. 19.24) с воздействием z(t), пред­ставляющим собой не белый гауссов процесс с дробно-рациональной спектральной плотностью Sz(ω).

Рис. 19.24.

Эту плот­ность Sz(ω) можно разложить на множители:

(19.60)

где S+z(ω) — комплексная сопряженная величина S-z(ω). Кроме того, все полюса и нули S+z(ω) находятся в левой половине комплексной плоскости s, где s = c0+jω. Таким образом, S+z(ω) и 1/ S+z(ω) могут быть реализованы пу­тем преобразования белого гауссова процесса линейной системой научных исследований.

Рис. 19.25.

Тогда систему Θ можно рассмотреть в эквива­лентной форме, представленной на рис. 19.25, где передаточные функции двух линейных систем научных исследований β1(t) и β2(t) име­ют вид

(19.61)

Таким образом, система О образуется последовательным соединением линейной системы с импульсной переходной функцией β2(t) и системы Θ. Тогда x(t)—воздействие системы научных исследований, представляет собой белый гауссов про­цесс с единичным уровнем спектральной плотности. В соответствии с уравнением (19.56) ядра Винера системы О будут иметь вид

(19.62)

за исключением случая, когда два или более значений τi равны между собой. Из (19.62) видно, что для определения {kn} необходимо знать функцию взаимной корреля­ции:

(19.63)

Однако мы располагаем лишь воздействием z(t), и поэтому выразим искомую функцию Ryx через взаимную корреля­ционную функцию между реакцией y(t) и многомерной задержкой воздействия z(t). При под­становке соотношения

(19.64)

в уравнение для Ryx получим формулу

(19.65)

где

(19.66)

— взаимная корреляционная функция между реакцией y(t) и многомерной задержкой воздействия z(t).

В частотной области уравнение (19.66) можно пред­ставить в виде

(19.67)

где

(19.68)

а передаточная функция W1(ω) определяется формулой

(19.69)

Подставив W1(ω) в формулу (5.104), получим искомое выражение в частотной области:

(19.70)

Теперь для определения ядер {kn} в соответствии с (19.62) с помощью взаимной корреляции Ryz можно ис­пользовать соотношение (19.65) или (19.68).

После того как ядра {kn} определены, систему научных исследований можно представить в виде, изображенном на рис. 19.26.

Рис. 19.26.

Модифицированное представление этой системы показано на рис. 19.27.

Рис. 19.27.

На этом рисунке видно, что выходы параллельных ветвей ортогональны для z(t). Таким образом, нелиней­ная система научных исследований Θ разложена на ряд функционалов, которые ортогональны для гауссовых реакций со спек­тральной плоскостью Sz(ω).

В заключение покажем, каким образом можно вычи­слить функционалы, ортогональные относительно z(t), не прибегая к построению дополнительных линейных си­стем научных исследований β1(t) и β2(t). Это можно сделать подстановкой (19.64) в (19.50). Обозначим эти функционалы через п. Первые три функционала имеют вид

0 [k0, z(t)] =k0,

(19.71)

где

(19.72)

Тогда выходной сигнал системы Θ, выраженный через эти функционалы, при входном сигнале z(t) может быть представлен ортогональным разложением:

(19.73).

Теперь рассмотрим определение ядер Винера по экс­периментальным данным и приведем некоторые примеры этих ядер. Как уже говорилось, ядра Винера целесооб­разно определять особенно в тех случаях, когда весьма сложно осуществить декомпозицию системы научных исследований. В качестве такой «системы» возьмем исследователя, выполняющего исследовательские операции. Используя специальный прибор, будем показывать ему некоторую реализацию белого гаус­сова процесса и регистрировать реакцию на этот процесс. (исследователь должен отслеживать реализацию случайного процесса с помощью пишущего визира). Будем иметь две реализации случайного процесса: x(t)—вход и y(t) —выход. Теперь на основе изложенной теории мож­но рассчитать ядра Винера любого порядка. Это можно сделать с помощью обработки данных реализаций x(t) и y(t) на ЭВМ.

Рис. 19.28.

Примеры ядер первого и вто­рого порядка приведены на рис. 19.28 и 19.29.

Рис. 19.29.

Анализируя ядро первого порядка, можно видеть, что оно является типичным для импульсной переходной функ­ции линейной системы научных исследований с запаздывающим аргументом. Здесь запаздывание составляет порядка 0,2 с. На рис. 19.29 показано ядро Винера второго порядка. Здесь, как и на рис. 19.28, дано множество дискретных значений; ядра соединены на графике плавными кривыми. Очевидно, что эти наборы значений могут быть аппроксимированы ана­литическими зависимостями. Ясно, что предлагаемый материал может служить исходным при исследованиях систем научных исследований.