Парадигма развития науки (стр. 16 )

Рассмотренная задача организации работы специализированной системы научных исследований может быть решена и первым вариантом, в котором раз­решен последовательный захват МПД (см. рис. 19.16), но с предотвращением тупиковых ситуаций. Очевидно, что возможны две тупиковые ситуации, описываемые марки­ровками с фишками в позициях S12,S22,S32 и S13,S23,S33 (см. рис. 19.16). Для предотвра­щения первой тупиковой ситуации необходимо в маркировках { S12,S22}, { S12,S32}, { S32,S22} предотвратить проявление фишки в позициях S32,S22,S12 соответственно. Следовательно, переход t1 должен иметь в качестве предусло­вия конъюнкцию МПД1 &S11&, т. е. его нужно заменить на переходы t'1 и t'′1 с пред­условиями МПД1&&и МПД1 &S11& (рис. 19.19). Аналогично следует поступить с переходами t5, t9 (см. рис. 19.16). Подоб­ные действия предпринимаются и для пре­дотвращения второй тупиковой ситуации.

Другие предложения по изменению правил запуска либо экви­валентны введению сдерживающих дуг, либо носят даже более частный характер. Например, в сетях Петри с областями ограничения имеются множества позиций (называемые областями ограничения), в которых фишки одновременно находиться не могут. Правила запуска модифи­цированы так, чтобы не нарушать это условие. Если в сеть Петри, изображенную на рис. 19.16, включить две области ограничения {S12,S22,S32} и {S13,S23,S33}, то можно предотвратить возникновение тупиковых ситуаций.

19.3. Анализ и синтез систем научных исследований

Реальная и «математическая» системы научных исследований. Пусть даны две системы научных исследований, одна из которых имеет известные харак­теристики, а другая — неизвестные. При этом неизвест­ная система научных исследований подлежит исследованию, а известная исполь­зуется для проведения исследования. На вход обеих си­стем научных исследований поступает одно и то же воздействие. Если эти системы не идентичны, то на их выходах будут различные реакции.

Здесь возникают две задачи.

Первая — пусть даны воздействия и желаемая реакция неизвест­ной системы научных исследований. Требуется найти такие характеристики из­вестной системы научных исследований, при которых реакция на ее выходе близка к желаемой реакции неизвестной системы научных исследований. Эту задачу будем называть задачей синтеза.

Вторая — пусть дана неизвестная система научных исследований. Требуется по воздействию и реакции этой системы научных исследований определить характеристики известной системы научных исследований, позволяющие установить аналитиче­скую зависимость между входом и выходом неизвестной системы научных исследований. Эту задачу будем называть задачей анализа.

Если обратиться к соотношению (19.12), то при решении задачи синтеза требуется определить, какими должны быть ядра Винера

kn(τ1, ..., τп), чтобы обеспечить желае­мую реакцию у(t) при заданном воздействии x(t).

При решении задачи анализа надо определить, какими характеристиками обладает система научных исследований при ее дей­ствии. Именно определение ядер Винера некоторой ре­альной системы научных исследований решает в том числе и задачу идентифи­кации.

Таким образом, как при решении задачи анализа, так и синтеза необходимо определение ядер kn(τ1, ..., τп). Можно также утверждать, что практическое решение за­дачи определения ядер kn(τ1, ..., τп) можно осуществить, если параллельно некоторой реальной системе научных исследований подключить «математическую» систему (мате­матические зависимости, реализованные на устройствах вычислительной техники) и, варьируя параметрами «математической» системы, обеспечить их близость по реакциям в том или ином смысле. Сначала да­дим общую идею теории. Она строится на основе исполь­зования ортогональных свойств некоторых функционалов, зависящих от kn(τ1, ..., τп) в (19.12).

Рассмотрим схему, приведенную на рис. 19.20.

Рис. 19.20.

Белый гауссов процесс x(t, α), создаваемый генератором слу­чайного процесса, поступает на входы известной и неиз­вестной систем научных исследований. Соответственно на выходе известной си­стемы научных исследований будем иметь

(19.18)

а на выходе неизвестной системы научных исследований

(19.19)

В формулах (19.18) и (19.19) Gn — ортогональные функ­ционалы, Кп и Нп — ядра функционалов неизвестной си­стемы научных исследований и известной соответственно, α — параметр, пока­зывающий, что случайный процесс является не только функцией времени, но и события, или совокупности ре­ализаций. Выходные процессы перемножаются и получается процесс r(t, α). Это произведение выходных процес­сов запишется в виде

(19.20)

Среднее по времени произведение (19.20) равно

(19.21)

для почти всех α.

Преобразование, которое получается, если прибавить время t к аргументу всех броуновских кривых, является сохраняющим меру преобразованием броуновских дви­жений, и это сохраняющее меру преобразование эргодическое. Поэтому выражение (19.21) равно среднему по совокупности:

(19.22)

В этом содержание эргодической теоремы: практически для всех α среднее по времени совпадает со средним по состояниям или по совокупности реализаций случайного процесса.

Уже утверждалось, что Gп-функционалы обла­дают ортогональным свойством. Следовательно, когда m и п различны, интегрирование по α дает ноль. Когда же т =п, имеем

(19.23)

Тогда, если известно среднее значение r(t, α), то полу­чим соотношение

(19.24)

Это соотношение означает, что среднее по времени ре­ализации процесса r(t, α) на выходе умножителя равно сумме интегралов от произведения ядер неизвестной и известной систем научных исследований. Но известную систему научных исследований можно взять какой угодно, например Нп представить в виде произве­дения функций Лагерра:

(19.25)

где φk — функции Лагерра (k = 0, 1, 2, ...). Если множе­ство {Н} типа (19.25), то среднее по времени r(t, α) будет с точностью до п! совпадать с интегралом по времени от произведения Кп и известной лагерровской функции. Учитывая соотношения (19.24) и (19.25) таким образом, можно получить разложение Кп в ряд по произведениям лагерровских функций и, следовательно, можно решить задачу анализа и синтеза в том смысле, как это обсуж­далось ранее.

Нетрудно видеть, что практическая реализация этой теории требует эксперимента, так как для решения зада­чи анализа и синтеза необходимо получение среднего по времени произведения реакций реальной си­стемы научных исследований и «математически» описываемой функциями Ла­герра. В сложных случаях это можно выполнить лишь с помощью вычислительной машины.

Методика анализа и синтеза. Теперь рассмотрим методику анализа и синтеза систем научных исследований более детально. Пусть гауссов случайный процесс x(t) с единичным уровнем спектральной плотности одновременно подается на вход исследуемой системы научных исследований и некоторой схе­мы, построенной путем параллельного соединения уст­ройств, каждое из которых можно описать ортогональ­ной функцией Лагерра φk(t). Если осреднить по времени реакцию схемы, реализующей φk(t), то получа­ются коэффициенты Аi ортонормированного разложения Лагерра для х(t). Эти коэффициенты статистически не­зависимы, а их вероятность распределения подчиняется закону Гаусса:

(19.26)

В силу физической осуществимости си­стемы научных исследований ее реакция r(t) представляет собой функцию предыдущих значений воздействия х(t). Выразим r(t) через коэф­фициенты Лагерра для х(t):

(19.27)