Парадигма развития науки (стр. 3 )

Предположим теперь, что высказывания из М таковы, что свободные переменные в них образуют формальные объекты, под которыми понимается абстрактное пред­ставление объекта, отражающее некоторые его реальные свойства. Такие высказывания будем называть правиль­ными. Так как в подмножестве М свободные переменные представляют собой формальные объекты, то, следова­тельно, высказывания из М адекватно отражают некото­рые свойства реальной системы научных исследований. Тогда приведем формулировку следующего определения.

Определение 1. Абстрактной системой научных исследований будем называть множество правильных высказы­ваний.

Пусть теперь формальные объекты оп­ределяются явным образом, а не с помощью концептуаль­ных классов высказываний, как это было в определении 1, поскольку приходилось формулировать посредством языка L свойства, которые определяют чисто интуитив­ным (содержательным) путем совокупность реальных объектов и понятий в системе научных исследований.

Начнем с рассмотрения семейства множеств Х1, .... Xj, .... Хп

(j = 1, 2, ..., п). Пусть каждое из этих множеств определяет некоторый формальный объект, а именно, формальный объект, соответствующий множеству Xj, мо­жет принять вид любого элемента из этого множества. Элементы множества Xj можно называть значениями объ­екта в множестве.

Образуем теперь прямое произведение X семейства множеств Хj.

X = X1×X2×...×Xj×...×Xn, (17.1)

т. е. множество X упорядоченных конечных последова­тельностей

{(х1, ..., хj, .... хп)}, где хjXj. Поскольку фор­мальный объект отражает свойства некоторого реально­го объекта, то можно предположить, что некоторые из упорядоченных конечных последовательностей адекватно отражают свойства реальной системы научных исследований.

Определение 2. Абстрактной системой научных исследований будем называть некоторое соб­ственное подмножество Xs, XsX. В действительности некоторое собственное подмножество прямого произведе­ния множеств X определяет отношение между формаль­ными объектами Х1, ..., Xj, ..., Хп (j = 1, 2, ..., п). Тогда абстрактной системой научных исследований можно назвать некоторое отношение R, определенное на произведении X, т. е. абстрактная система научных исследований определяется заданием множества

X = X1×X2×...×Xj×...×Xn,

и некоторого множества отношений

R={R1, ..., Rn}.

Именно множество отношений R позволя­ет выделить некоторое подмножество XsX.

Определение 3. Пусть элементами множества Xj будут некоторые функции времени, т. е. хj(t)Xj(t). Тогда можно предположить, что абстрактная система научных исследований ото­бражает некоторые динамические исследовательские процессы, протекаю­щие в реальной системе научных исследований. Действительно, например, для линейной динамической системы научных исследований можно записать

x2(t)= k(τ)x1(t-τ)dτ, (17.2)

где x2(t)—выходной исследовательский процесс, или реакция системы научных исследований (сформиованные научные рекомендации), x1(t)—входной исследовательский процесс, или входное исследовательское воздействие, k(τ)—импульсная переходная функция системы научных исследований. В об­щем случае x1(t) может быть элементом множества Х1(t) и, следовательно, учитывая интегральное преобразова­ние, будем иметь х2(t) X2(t) . Тогда можно записать что

X2(t) R X1(t) (t T). (17.3)

В этом выражении R — отношение, которое является не­которым множеством, поскольку параметры импульсной переходной функции k(τ) могут представлять собой на­боры дискретных значений или быть функциями времени.

Нелинейную динамическую систему научных исследований можно описать с помощью ряда Вольтерра

(17.4)

где η – область интегрирования, т. е. область, на которой определена функция x1(t), являющаяся входным сигналом системы научных исследований, а hn (n=0,1,2,…) – ядра ряда Вольтера.

В этом случае можно также записать соотношение, аналогичное (17.3).

В этих рассуждениях мы пришли к понятию абс­трактной динамической системы научных исследований, которую те­перь можно определить следующими аксиомами:

1. Для системы научных исследований определены пространство состояний К и множество Т моментов времени, в которых определе­но поведение системы научных исследований. Здесь К — некоторое топологиче­ское пространство, а Т — упорядоченное топологическое пространство, являющееся подпространством простран­ства вещественных чисел.

2. Для системы научных исследований определено некоторое топологическое пространство Ω функций времени, определенных на Т и называемых допустимыми входными сигналами системы научных исследований или воздействиями на систему научных исследований.

3. Для произвольного начального момента t0 из Т, произвольного начального состояния х0 из К и произвольного входного сигнала и из Ω, определенного для t≥t0, все будущие состояния системы научных исследований определяются видом функ­ции перехода

φ: Ω ×Т×Т×К→K,

что символически мож­но записать так:

φи(t; t0, x0)=xt.

Эта функция определена только для t≥t0. Более того, для любых t0≤t≤t2 из Т, любых x0 из К и любых фиксиро­ванных и из Ω, определенных на [t0, t]∩T, справедливы соотношения

φи(t0; t0, x0)=x0. (17.5)

φи(t2; t0, x0)= φи(t2; t1, φи(t1; t0, x0)) (17.6)

Помимо этого, система научных исследований должна быть физически воз­можной, т. е. если и,v Ω и и=v на [t0, t]∩T, то необ­ходимо, чтобы

φи(t; t0, x0)≡ φv(t; t0, x0). (17.7)

4. Каждый выходной сигнал или реакция системы научных исследований яв­ляется некоторой вещественной функцией ψ, определен­ной на произведении Т×К.

5. Функции φ и ψ непрерывны относительно тополо­гий, выбранных на К, Т и Ω.

Структура системы научных исследований. Понятие структуры системы научных исследований яв­ляется, пожалуй, одним из самых важных. Абстрактная система научных исследований, например, представляет со­бой некоторое подмножество прямого произведения мно­жеств, каждое из которых представляет собой формальный объект. Можно представить, что каждый формаль­ный объект обладает определенными свойствами, но в достаточной мере простыми по сравнению со свойствами всей системы научных исследований. Если теперь из совокупности формальных объектов построить некоторую «организацию», систему научных исследований, притом делать это целенаправленно, то эта «организация» может проявить более сложные свойства и закономерности, чем это наблюдалось у отдельного формального объекта.

Приведем пример системы из живой природы. Извест­но, что человеческий мозг содержит очень большое количество нейронов, каждый из которых имеет определен­ные свойства. Математическая абстракция свойств ней­рона есть формальный объект, или формальный нейрон. Фактом является то, что отдельный нейрон не «мыслит». Однако совокупность нейронов, будучи соответствующим образом связанной, приводит к возникновению мысли. И именно процесс мышления возможно использовать в системах научных исследований для формирования научных рекомендаций по решению задач исследуемой проблемы

Это, конечно, упрощенные рассуждения. На самом, деле, процесс возникновения мысли значительно сложнее. Но несомненным является то, что установление связи между формальными объектами (здесь формальный объект — математическое описание свойств нейрона) приводит к проявлению новых, более сложных закономерностей. Сле­довательно, свойства абстрактной системы научных исследований зависят не только от свойств отдельных формальных объектов, но и от взаимосвязи между ними. Поэтому сеть взаимосвязей между формальными объектами, причем такую, которая приводит к проявлению более сложных закономерностей системы научных исследований по сравнению с отдельным объектом, будем на­зывать структурой абстрактной системы научных исследований.