Парадигма развития науки (стр. 54 )

Ho

(см. замечание а), поэтому можно утверждать (положив k = М), что

(23.9)

В левой части соотношения (23.9)стоит сумма Т+t11 (см. формулу (23.6)). Кроме того,

(см. формулу (23.7)). Следовательно, неравенство (23.9) приводится к виду

(23.10)

Таким образом, время Т никогда не будет меньше ве­личины, стоящей в правой части (23.10), и в задаче нор­мирования работ имеет смысл ориентироваться именно на эту величину.

Для получения

необходимо и достаточно выполнить условия

(23.11)

Доказательство этого утверждения основано на использовании тех оценок, которые привели к соотношению (23.10). Первое условие (23.11) интерпретируется как

Второе условие (23.11) (с учетом первого) есть

или

(23.12)

Неравенства (23.12) с помощью формул (23.7), (23.8) при­водятся к виду

или

(23.13)

где

Система (23.13) включает

строк, причем какие-то из этих строк являются равенствами, а осталь­ные — строгими неравенствами. Если номера строк-ра­венств объединить в множество J, а номера неравенств — в множество, то (23.13) можно представить как

(23.14)

где ξsk— дополнительные переменные, вводимые для формального устранения знаков «>» и имеющие размер­ность времени (ξsk >0).

Уравнения (23.14) имеют ряд особенностей, на кото­рые cледует обратить внимание. Во-первых, левые части уравнений не меняются с изменением номеров s при лю­бом k = const. Правые части содержат переменные, за­висящие от s и k, но одни и те же величины τsk, δαk, ξsk могут входить в разные строки только тогда, когда со­храняется

k = const. Таким образом, вся система (23.14) представляет собой объединение подсистем, отвечающих различным значениям k (l≤k≤M) и отличающихся друг от друга содержанием своих правых частей (левые части включают одни и те же переменные при разных k, поэтому указанные подсистемы не являются незави­симыми). Во-вторых, число уравнений (23.14) меньше числа переменных, т. е. система избыточна. Чтобы дать соответствующие оценки, обратимся к (23.13). Достиже­ние равенства (при любом k = const) означает здесь воз­можность одновременного завершения Nk-й и s-й рабо­ты, но это реально лишь для количества работ, не пре­восходящего Lk—1. Во избежание ненужных потерь вре­мени на участках обработки и излишнего сокращения норм имеет смысл принять требование об одновременном окончании работ во всех каналах данного участка. Та­ким образом, число переменных е (23.14) составит

2. Интерпретация условий существования. Основы­ваясь на указанных замечаниях, можно несколько пере­строить систему (23.14) с целью получения дополнитель­ных сведений о ее свойствах. Совокупность равенств, относящихся к k-му участку в целом, разбивается на час­ти так, что каждая такая часть относится только к ка­кому-то одному каналу l (1≤l≤Lk), объединяя при этом группу уравнений с номерами s из и одно уравнение с номером s из J. Изменив порядок нумерации строк и пе­ременных в (23.14) в соответствии с предлагаемым раз­биением, легко получить равенства

(23.15)

где αlk — количество массивов, обрабатываемых в l-м

канале УОД-k, причем

Найти формальное решение системы (23.15) нетруд­но, однако прежде чем это сделать, заметим, что

а) в последние строки (23.15) входит сумма

,

представляющая собой δ01 + minТ (см. формулу (23.19)), поэтому в дальнейшем удобно использовать условие minТ = Т3, рассматривая заданное время обра­ботки информации (работы системы) Т3 в качестве па­раметра; кроме того, без потери общности можно считать δ01 = 0;

б) величины ∆0k (k=2,…, М) могут быть определены как

поскольку в любом канале любого УОД обработка первого массива (v=1) закончится раньше всего, и поиск минимумов вида

достаточно проводить только среди значений τ1lβ+ δ0lβ;

в) переменные δαlk (k=1,…,M), входящие в формулы (23.14) и (23.15), есть суммы ταlk +∆tαlk, где ∆tαlk — время возможного простоя канала l(1≤l≤Lk) после оконча­ния обработки α-го массива (или перед началом обра­ботки (α +l)-гo массива);

г) каждая величина (длительность обработки последнего массива данных на всем β-м участке) совпа­дает с наименьшей из величин τwlβ (1≤β≤M), посколь­ку в условиях (23.15) именно определяет самый поздний из моментов tsβ;

д) вспомогательные переменные ξvlk могут быть вы­ражены через ταlk, ∆tαlk с помощью уравнений (23.15) в виде

откуда следует равенство ξvlk — ξv+1,lk =τ v+1,lk +∆tvlk ; по своему смыслу любая из ξvlk есть время, остающееся на обработку в данном l-м канале УОД-k массивов с но­мерами от v+ 1 до w;

е) продолжительность собственно обработки данных на отдельно взятом участке оценивается как

в случае необходимости величины Ck могут выступать в роли параметров; то же самое относится и к сумме

определяющей общие потери времени на УОД-k, связанные с простоями каналов по техническим, организационным и другим причинам;

ж) начальные условия, возникающие в канале lk, оп­ределяются здесь как τ0lk{k=1,…,M)\

з) уравнения (23.15) составлены для общего случая alk≥2; если же окажется, что alk =1 (канал l участка k занят обработкой только одного массива), равенства с индексами v=1,…, alk —1 в (23.15) станут ненужными и дол­жны быть изъяты из рассмотрения.

Учитывая сделанные замечания, можно привести ус­ловия (23.15) к виду

(23.16)

Пусть

где h — один из номеров l (l=1, 2, ..., Lβ), причем без­различно, какой именно (l≤h≤ Lβ). Точно так же

В этих обозначениях строки системы (23.16), имею­щие номера v=1,

l = h, могут быть представлены как

(23.17)

Для простоты значения h и d считаются здесь одинаковы­ми при разных k (k=1,…, М) (в реальных условиях- это достигается перенумерацией каналов).

Соотношения (23.17) позволяют получить

что приводит к более простой форме записи уравнений (23.16):

(23.18)

от которой нетрудно перейти к равенствам

(23.19)