Парадигма развития науки (стр. 17 )

Здесь R является функцией переменных Аi, которые мо­гут быть распределены на интервале — ∞<Аi<∞. функ­цию R можно представить полиномом Эрмита для мно­гих переменных. В этом рассмотрении переменными яв­ляются случайные величины А0, А1 ..., Аn; для выхода системы r(t) имеем

(19.28)

Умножая обе части этого уравнения на

(19.29)

и усредняя его на всем интервале — ∞< t <∞, получаем:

(19.30)

Ясно, что для обеспечения высокой точности аппроксимации r(t) необходимо, чтобы п→∞. Здесь для краткости в (19.30) опущен. Теперь согласно принципу эрго­дичности усреднение по времени, применяемое в правой части этого уравнения, можно заменить усреднением по множеству. Тогда при многомерном распределении вероятностей вида (19.26) уравнение (19.30) можно записать так:

(19.31)

Вследствие свойства ортогональности полиномов Эрмита с весом

на прямой —∞<А<∞

(19.32)

где

причем

получим

(19.33)

Множество коэффициентов са, сb,....., сk ряда Эрмита, опреде­ляющих коэффициенты Лагерра Ai для гауссова процесса x(t), может быть определено с помощью вычислительно­го устройства, схема которого, только для воспроизведе­ния двух функций Лагерра и двух полиномов Эрмита, приведена на рис. 19.21.

Pис. 19.21

Теперь, пусть имеется устойчивая система научных исследований, заданная коэффициентами са, сb,....., сk. Изложен­ным способом можно получить реакцию системы научных исследований r(t) для любого воздействия x(t). Начнем с аппроксимации r(t) конечным числом слагаемых ряда Эрмита многих переменных:

(19.34)

где А0, А1, ..., Ап — коэффициенты разложения по функ­циям Лагерра известной входной величины;

(19.35)

Эти коэффициенты можно получить, если подать воздействие x(t) на вход электрической схемы системы, реализующей функции Лагерра. Функциональное преобразование, соответствую­щее полиномам Эрмита, может быть также реализовано либо с помощью электрической схемы, либо с помощью вычислительной машины. Тогда «математическая» си­стема, о которой говорилось выше, может быть по­строена по схеме, приведенной на рис. 19.22, где белый гауссов процесс x(t) поступает на вход схемы, реализу­ющей функции Лагерра, которые аппроксимируют линейную часть системы с памятью. Коэффициенты Аi (i=l, 2, ..., п), являющиеся значениями случайной вели­чины, поступают на вход схемы, реализующей полиномы Эрмита, которые аппроксимируют безынерционную не­линейную часть системы научных исследований. В итоге получаем оценку сиг­нала r*(t), являющегося реакцией математической си­стемы.

Рис. 19.22.

Таким образом, используя схему измерений, приве­денную на рис. 19.21, можно определить коэффициенты А0, А1, ..., Ап и са, сb,..... ,сk с помощью которых на ос­новании (19.34) можно определить реакцию системы научных исследований на какой-либо другой сигнал.

Наборы коэффициентов {Ап} и { са, сb,..... ,сk } характери­зуют свойства и поведение системы научных исследований, по­этому их можно использовать также для решения задач технической и медицинской диагностики.

19.4. Определение ядер Винера методом взаимной корреляции

Построение однородных функционалов. В основу определения ядер системы научных исследований положим метод взаимной корреляции. Пусть, как и выше, на вход системы научных исследований поступает белый гауссов процесс. Суть получения ядер заключается в со­ответствующей совместной об­работке входного и выходного сигналов исследуемой систе­мы научных исследований.

Рис. 19.23.

Сначала рассмотрим про­хождение белого гауссова про­цесса по цепям с запаздывани­ем во времени. Выход цепи с запаздыванием σ (рис. 19.23, а) можно записать в виде одно­родного функционала первой степени:

(19.36)

Выходной сигнал двумерной цепи (рис. 19.23, б) с запаз­дыванием можно записать в виде однородного функцио­нала второй степени:

(19.37)

и вообще цепь с п-мерным запаздыванием можно пред­ставить в виде однородного функционала степени:

(19.38)

Построив такую последовательность функционалов, рас­смотрим возможность экспериментального определения ядер Винера с их помощью; ядро нулевого порядка

k0 = (t), (19.39)

т. е. равно среднему значению реакции систе­мы научных исследований. Это следует из того, что

(19.40)

Определим ядро первого порядка. Для этого вычислим взаимокорреляционную функцию y(t) и сигнала x(t), прошедшего одномерную цепь задержки, т. е. y1(t). Учи­тывая ортогональное свойство полиномов Винера, по­лучим

(19.41)

т. е.

(19.42)

Следовательно, при использовании функционалов Вине­ра первое

ядро определится так же, как и весовая функ­ция линейной системы научных исследований.

Определим теперь ядро второго порядка. Используя вновь ортогональное свойство полиномов Винера, полу­чаем

(19.43)

Вычислим первый член в (19.43):

(19.44)

второй:

(19.45)

Равенство нулю этого члена обусловлено тем, что сред­нее от произведения нечетного числа сигналов типа бе­лого процесса с нулевым математическим ожиданием равно нулю. Далее, применяя свойство среднего от про­изведения четного числа сигналов типа белый гауссов процесс, вычисляем третий член в (19.43):

(19.45)

При выводе соотношения (19.45) учитывалось, что ядра Винера симметричны, т. е. что k2(σ1, σ2) = k2(σ2, σ1). Сум­мируя (19.44) и (19.45), окончательно получаем для (19.43):

(19.46)

Выражение (19.46) определяет ядро второго порядка при всех σ1≠ σ2, т. е.

(19.47)

Определим теперь ядро п-го порядка, вычисляя для этого среднее от произведения реакции системы научных исследований и п-мерной цепи с запаздыванием:

(19.48)

Благодаря свойству ортогональности полиномов Винера (19.48) будет иметь вид

(19.49)

Для вычисления (19.49) запишем однородный функционал, представляющий п-мерную цепь с запаздыванием в виде

(19.50)

где F— сумма однородных функционалов степени меньше п. При этом ядро lп в (19.50) равно

Используем соотношение (19.49) и свойство ортогональ­ности, тогда для т = п

(19.51)

Применяя формулы для среднего значения произведения функционалов Винера, получаем

(19.52)

Определим теперь функции взаимной корреляции для m<n. Если т и п — четные, то высшая степень функцио­нала из (19.52) для т<п и четных равна п—2. В этом случае усредняемый член при вычислении взаимнокорреляционной функции получается таким: