Регулирование многовидового рыболовства на основе математического моделирования (стр. 11 )

Глава 2. Управление промысловым сообществом в условиях равновесия

Примерно в то же время, когда появились работы В. Вольтерра по математическому моделированию биологических сообществ, (1918, 1925) разработал основы теории рыболовства, построив математическую модель промысловой популяции рыб. Основным преимуществом такой модели является тот факт, что параметры модели могут быть определены по данным биологической и промысловой статистики, которая должна быть собрана для важных промысловых объектов. В дальнейшем эти два направления науки развивались отдельно, и современный анализ возрастного состава уловов вырос из идей . В то же время продукционные модели промысловых популяций тесно связаны с моделями В. Вольтерра.

Цель настоящей главы – показать на простых математических моделях, как следует учитывать трофические взаимодействия между промысловыми популяциями при выборе режима промысла.

2.1.Анализ допустимой области управления в системе хищник-жертва

В последнее десятилетие в рамках Международного Совета Исследования моря (ИКЕС) появился новый подход к выбору режима рыболовства, так называемый предосторожный подход, при котором для промыслового запаса на основании изучения его динамики в прошлые годы оцениваются предосторожные биологические ориентиры по биомассе и по коэффициенту промысловой смертности (или промысловому усилию). Алгоритмы определения этих “биологических ориентиров ” описаны в нескольких работах (Jakobsen, 1992, 1993; ICES 1996c; ICES 1997d; Бабаян, 2000), но они относятся только к изолированным популяциям, т. е. к идеализированной ситуации. Перед Многовидовой Рабочей группой ИКЕС (ICES, 1997a) была поставлена задача определить, как сильно существование межвидовых отношений повлияет на оценки этих биологических ориентиров. В этой главе приведены исследования, большая часть которых проведена существенно раньше, чем появилось понятие предосторожного подхода, а затем были представлены автором и обсуждены на этой группе, и их часть вошла в официальный отчет группы (ICES,1997a; Rice, 1997).

В настоящей главе делается попытка интерпретации предосторожного подхода для управления многовидовым сообществом простой структуры, поскольку биологические взаимодействия между видами сильно влияют на положение «вектора рационального управления » сообществом (Булгакова, 1970, 1977, 1998; Bulgakova, 1999).

Одновидовой предосторожный подход основан на простейшей продукционной модели популяции, потому логично для обоснования такого подхода к регулированию промысла сообщества использовать простейшие многовидовые модели. Поскольку естественно предположить, что эксплуатируется экосистема, реально существующая в природе в течение долгого времени, выберем простейшую модель хищник-жертва, имеющую устойчивую точку равновесия, а именно

(2-1)

где x1 – численность вида-жертвы, x2 –численность вида-хищника, a1 и b – параметры роста популяции жертв в условиях лимитирующей среды (в случае, если популяции хищников нет, первая популяция растет по логистическому закону), cx2 – коэффициент смертности от хищников (смертность жертв описывается “вольтерровским” членом); a2x1 – коэффициент воспроизводства хищников, пропорциональный численности первого вида, M –постоянный коэффициент мгновенной естественной смертности популяции хищников, F1 и F2 – коэффициенты промысловой смертности. Видим, что согласно данной модели второй вид при отсутствии жертв (при x1=0) вымирает.

Если сообщество не эксплуатируется, точка равновесия системы уравнений (1) имеет вид

(2-2)

и лежит в положительной области {x1,x2} при выполнении условия (2-3):

(2-3)

Считаем, что для данного сообщества это условие всегда выполняется.

Если промысел ведется с постоянными коэффициентами промысловой смертности, то координаты точки равновесия системы (2-1) равны

(2-4)

Чтобы точка равновесия (2-4) лежала в положительной области, необходимо, чтобы коэффициенты промысловой смертности (которые являются параметрами управления нашим сообществом) удовлетворяли условию

a2F1 + bF2 < D (2-5)

Исследование на устойчивость точки равновесия (2-4) по I методу (1950) показало, что при условии (2-5) и b >0 эта точка асимптотически устойчива. Поскольку система (2-1) является частным случаем модели (1972), получаем дополнительное свойство точки равновесия: если выполняется условие

b2(M+F2)/4 + ba2(a2+F2) > (a2)2 (a1 – F1 ) ,

то это устойчивый узел, иначе – устойчивый фокус. Таким образом, с ростом значений параметров b, F1 и F2 (но до тех пор пока выполняется условие (2-5)) устойчивость системы увеличивается (Bulgakova, 1999). При b = 0 нарушается условие устойчивости, и система (2-1) становится простейшей системой уравнений В. Вольтерра, решение которой имеет вид незатухающих колебаний.

На рис. 2.1 в координатах коэффициентов промысловой смертности {F1,F2} построена область допустимого управления сообществом, полученная из условий (2-4) и F1³ 0 , F2 ³0 – это незаштрихованный треугольник MON вместе с границами ON и OM, но без границы MN. Уравнение прямой MN получается из (2-4) при замене знака неравенства на знак равенства:

F1 = D/a2 - F2 b / a2 (2-6).

В данной главе ограничимся изучением равновесных состояний системы запасы-промысел.

2.1.1.Стратегии специализированного промысла популяции жертв

Рисунок 2.1. Область допустимого управления промыслом на плоскости {F1,F2} для системы хищник-жертва (2-1).

Предположим, что при эксплуатации популяции жертв мы пренебрегаем влиянием на нее хищника, считая ее как бы изолированной. Уравнение динамики такого вида – это первое уравнение (2-1) при с=0. Тогда по терминологии, принятой в ICES (1996), F*1lim, = a1 – это максимально допустимое (граничное) значение промысловой смертности первого вида, а уровню MSY (максимального устойчивого улова) соответствует значение F*1MSY = a1/2 – точка S на рис. 2.1. При выборе стратегии MSY менеджер ожидает получить вылов MSY*1 = a12/4b (знак * показывает, что формула относится к модели изолированной популяции), а поскольку хищники существуют, то при выбранном F1= a1/2 он получит равновесный вылов, равный при F2=0, а чтобы получить вылов MSY*1, на который он рассчитывал, требуется организовать промысел хищников, да и то только в том случае, если точка S лежит внутри допустимой области управления (см. далее).

Поскольку хищники существуют, граничная интенсивность промысла первого вида должна быть снижена: при отсутствии промысла хищников согласно условию (2-6) до уровня F1lim = D/a2 < a1, а при возрастании F2 величина F1lim линейно уменьшается. Линия MN соответствует такому соотношению между параметрами F1 и F2, при котором в результате промысла будет уничтожена популяция хищников (X20 = 0). Таким образом, MN – пример граничной линии в области допустимого управления сообществом (в случае управления изолированной популяцией говорят о граничном ориентире в виде точки), такую граничную линию можно назвать crash-линией, поскольку она соответствует разрушению структуры экосистемы.

Уравновешенный вылов первого вида за год равен

Y10 = F1X10 = F1(M+F2)/a2 .

Функция Y10(F1,F2) не имеет максимума в положительной области аргументов и возрастает с ростом F1 и F2 до пересечения с плоскостью, перпендикулярной плоскости {F1,F2} и проходящей через линию MN. При этом возможны два варианта:

Вариант 1) Если a1/2 <D/a2 (или, что то же самое, a1a2/b> 2M), т. е. если точка S лежит внутри допустимой области, то наибольшее значение устойчивого вылова первой популяции внутри этой области достигается на линии MN при F1 = a1/2 в точке Q (F1=a1/2, F2=a1a2/2b - M) и равно a12 /4b (рис. 2.1 и рис.2.2а). Но раз точка Q лежит на граничной прямой MN, эта точка не может быть выбрана в качестве целевого ориентира управления – она является граничной точкой по отношению к популяции хищника, и если система находится в этой точке, хищный вид исчезает. Принимая рекомендации по эксплуатации двухвидового промысла, следует для сохранения структуры ЭС уменьшить коэффициенты промысловой смертности и выбрать точку внутри области допустимого управления. Насколько же следует отступить от граничной линии, зависит от точности определения параметров системы.

В общем случае выбор целевого ориентира зависит от относительной ценности (биологической или экономической) обоих видов и от соглашения между менеджерами, если популяции имеют несколько пользователей, например, являются объектами международного промысла. Так, если принято решение принять целевой ориентир по F равным 90% от значения F на границе допустимой области управления, следует выбирать точку управления внутри треугольника MON на прямой, параллельной линии MN и проходящей через точку F1=0.9D/a2 – пунктирная линия на рис.2.1 соответствует предосторожной границе области допустимого управления. При этом точка Qpr на этой линии соответствует целевому ориентиру специализированного промысла популяции жертв.

На рис. 2.2а приводится функция Y10 с областью определения, в два раза превышающей допустимую область. Наибольшее значение Y10 в допустимой области лежит на пересечении построенной поверхности и вертикальной плоскости, проходящей через прямую MN.