Регулирование многовидового рыболовства на основе математического моделирования (стр. 13 )

Исследование функции двух переменных P(F1,F2) показало, что она не имеет максимума и минимума. Потому наибольшее значение функции ищем на границе допустимой области. Функция P на каждой из трех линий границы представляется следующими функциями одной переменной:

P1(на прямой F1=0) = k2F2 - k4F22 .

P2(на прямой F2=0) = k1F1

P3(на прямой MN): подставляя F1= D/a2 - F2 b/a2 в (2-12), получаем функцию от F2

P3(F2) = F22 α2 + F2 α1 + α0 , где (2-13)

α2= (- A1 D/ (a2) 2

α1= A1(D - bM)/(a2)2 + B1b/a2 - B2

α0= (A1M/a2 - B1)D/a2

Свободный член α0 равен значению функции P в точке M. Значение P в точке N равно (-B2D/b <0), т. е. в этой точке промысел убыточен, и P(0,0) =0.

Рассмотрим отдельно четыре случая

1. k1>0, k2>0.

На прямой ОN (при отсутствии промысла первого вида) максимум прибыли достигается в точке R с координатами {0, k2/2k4}, причем точка R лежит левее точки L{0,Db/2}, поскольку k2/2k4 =D/2b - B2/2k4. Значение прибыли в этой точке равно (k2)2/4k4 .

На прямой OM (при отсутствии промысла хищников) функция P2(F1) возрастает с ростом F1, и наибольшее значение прибыли достигается в точке M и равно k1D/a2.

На прямой MN функция P3(F2) достигает максимума при F2 = - α1/2α2 (в точке U) при условии, что α 1>0 (поскольку α 2<0), причем этот максимум равен

max P3 = α0 - (α1)2 /4α2 > P3 (в точке M).

Таким образом, при условии α1> 0 следует определить значения функции P в точках U и R - наибольшее значение прибыли достигается в одной из них. Если же это условие не выполняется, то точка U лежит левее M, тогда P уменьшается с ростом F2 вдоль прямой MN, потому следует сравнить значения P в точках M и R.

2. k1<0, k2>0–- промысел первого вида нерентабелен.

На прямой MN функция P <0. На прямой ON максимум достигается в точке R.

3. k1>0, k2<0 – промысел второго вида (хищника) нерентабелен.

На прямой OM наибольшее значение Р достигается в точке M.

4. k1<0, k2<0 – промысел любого из двух видов нерентабелен.

Задача максимизации суммарного вылова двух видов с учетом различной их ценности может быть легко решена при подстановке в выражение функции прибыли B1=B2=0. Из (2-10) видно, что при этом коэффициенты k1 и k2 положительны, таким образом, справедливы выводы случая 1) предыдущих рассуждений.

Теперь α 2= – A1b/(a2)2; α1= A1(D – bM)/(a2)2 ; α0= A1MD/(a2)2.

Точка U совпадает с точкой Q, a точка R - с точкой L. Чтобы использовать 90%-й критерий при выборе рекомендуемых для промысла коэффициентов F, следует оценить предосторожные ориентиры управления, соответствующие точкам Qpr, Mpr and Rpr, а затем сравнить значения функции P в полученных точках. Например, Upr = {0.9F1(Q),0.9F2(Q)} и так далее. Таким образом,

P(Upr) @ A1(D2 – M2 b2)/(2ba22)

P(Rpr) @ A2D2/(4bca2).

Знак приближенного равенства возникает из 0.9 2 @ 0.8

Таким образом, выбор оптимальной стратегии регулирования должен зависеть от соотношения между биологическими и экономическими (A1 и A2) параметрами моделируемой системы.

2.2. Анализ допустимой области управления в системе двух конкурирующих видов

Задача оптимизации промысла сообщества, состоящего из двух конкурирующих за некоторый общий ресурс видов согласно модели Гаузе (Гаузе, 1935, Gause and Witt, 1935) подробно рассмотрена в работе (1970). Здесь описаны только основные результаты.

Поскольку конкуренция возможна лишь в среде с лимитирующими ресурсами, в качестве модели каждой популяции берется модель логистического роста, а взаимодействие популяций описывается моделью Гаузе при условии b1b2<1 (см. раздел 1.3)

Система уравнений промыслового сообщества имеет вид

, (2-14)

где Ki - максимальная численность i-го вида в отсутствии конкурирующего вида, Fi –мгновенные коэффициенты промысловой смертности, ai –коэффициенты прироста численности популяции. Параметры конкуренции bi имеют следующий смысл: xj oсобей j-го вида в смысле конкуренции эквивалентны bixj особям i-го вида (т. е. потребляют столько же ресурса, лимитирующего развитие популяций).

Условие существования точки равновесия системы записывается в виде . Для двухвидового сообщества получаем выражения (2-15) для численности видов в точке равновесия:

(2-15)

Рассматривается случай, когда две конкурирующие популяции существуют в природе достаточно долго, потому можно считать, что при отсутствии промысла существует устойчивая точка равновесия {x10, x20} в положительной области (ни одна из популяций не исчезает). В этом случае должно выполняться условие b1<K1/K2; b2<K2/K1. Отметим, что при фиксированных значениях управляющих параметров F1 и F2 точка равновесия единственная, но при изменении этих параметров координаты этой точки меняются, причем с ростом F2 величина x10 линейно растет, т. е. при усилении эксплуатации второго вида растет численность первого в состоянии равновесия, и наоборот.

Область допустимого управления для промысловой системы (2-14) (рис. 2.4) ограничена двумя осями координат и двумя прямыми линиями, представляющими собой линии, на которых система конкурирующих видов разрушается, т. е. это crash-линии, описываемые уравнениями (2-16). Например, граничная линия для первого вида соответствует x10=0, т. е. при F1 и F2, соответствующих точкам на этой линии, первый из видов исчезает, причем с ростом F2 увеличивается допустимое значение F1 и наоборот.

Уравнения прямых линий – границ допустимой области управления на плоскости {F2,F1} имеют вид:

(2-16)

Таким образом, в случае промысла системы двух конкурирующих популяций граничные биологические ориентиры управления – точки заменяются граничными линиями.

Уравновешенный вылов i-го вида за год равен Yi0 = Fixi0 и является функцией от F1 и F2, которая для каждого из двух конкурирующих видов представляет собой поверхность второго порядка (2-17) (рис. 2-5).

Рисунок 2-4 . Область допустимого управления промыслом на плоскости {F2,F1} для системы двух конкурирующих за общий ресурс популяций (2-14).

(2-17)

Если бы первая популяция была “изолированной“, то максимум ее вылова MSY1 достигался бы в точке U при F1*= a1/2. В присутствии конкурента (второй популяции) при фиксированном коэффициенте промысловой смертности второго вида F2 максимум вылова первой популяции достигается на прямой AR (рис.2.4), ордината которой при том же F2 вдвое меньше ординаты линии y1lim. Первое уравнение системы (2-18) соответствует линии AR. Аналогично, второе уравнение описывает линию, на которой достигается максимум вылова второго вида при фиксированном коэффициенте F1.

(2-18)

Видим, что y10(F2) линейно растет с ростом F2 вплоть до границы области, то есть до точки R. Во всех случаях точки, соответствующие наибольшему значению устойчивого вылова одного из видов, лежат на границе допустимой области управления. Например, точка R лежит на пересечении первой линии уравнения (2-18) и граничной линии второго вида (на которой равновесная численность второго вида равна нулю) согласно второму уравнению из (2-16). Это означает, что управление, направленное на получение максимального вылова одного из конкурирующих видов, приводит к вытеснению второго вида и следовательно к разрушению структуры системы. Для того чтобы сохранить структуру сообщества, нужно выбирать точку управления внутри допустимой области, например, на пунктирной линии AR (точка Rpr на рис. 2.4). Величину, на которую необходимо отступить от границы вглубь допустимой области, следует определять на основе неопределенности оценок запасов каждого из видов, аналогично тому, как это делается для одновидовых моделей промыслового запаса (Бабаян, 2000).

Аналогичная диаграмма допустимого управления была построена (1996) для системы уравнений (2-14), но на плоскости относительных координат{F1/a1,F2/a2}. На эту диаграмму (рис. 2.5) нанесены изоплеты – линии, в точках которых величина равновесного вылова постоянна (или уравновешенной добычи, поскольку применяет эту модель к популяциям млекопитающих). Но данная изоплетная диаграмма построена для зависимости суммарной относительной уравновешенной добычи обоих видов (Ysum/aK=Y10./a1K1+Y20/a2K2) от относительных коэффициентов мгновенной промысловой смертности двух видов (F1/a1 и F2/a2) (рис. 2.5). Диаграмма на данном рисунке построена для наиболее простого случая, когда К1=К2=К и a1=a2=r при b1=0,7 и b2= 0,5. Изоплеты относительных величин вылова Ysum/aK имеют форму эллипсов, и общая максимальная уравновешенная добыча может быть получена в точке