Регулирование многовидового рыболовства на основе математического моделирования (стр. 17 )

Исходя из общей концепции модели эксплуатируемого сообщества и выбирая в качестве прообраза нестационарную одновидовую модель Шефера (3-1), запишем в качестве примера основные уравнения взаимодействия двух эксплуатируемых запасов P1и P2 в виде:

dP1/dt =P1(t)(A1- B1P1 - C1P2)-Y1 (3-8)

dP2/dt =P2(t)(A2- B2P2 + C2P1)-Y2 ,

где константы Ai, Bi (i =1,2) неотрицательны и характеризуют процессы внутри популяций. Смысл параметров Ai, Bi тот же, что и параметров А и В в уравнении Шефера (3-1); параметры C1 и C2 характеризуют межвидовые отношения. Условие Сi> 0 означает, что второй вид является хищником по отношению к первому, а условие С1> 0. С2<0 − что виды являются конкурентами. В действительности между видами могут существовать взаимоотношения сразу двух типов, тогда знаки C1 и C2 говорят о том, какое из них превалирует.

В реальных условиях трудно оперировать такой величиной, как биомасса вида, поскольку ее невозможно определить непосредственно из натурных данных без привлечения дополнительной информации. Поэтому целесообразно с помощью соотношений

ui=Yi/Ei =qiPi (3-9)

перейти от формулы (3-8) к уравнениям относительно индексов запасов, выражающим величины dui/dtui через u1,u2,…,un и Ei (Bulgakova, Kizner, I986; Булгакова и Кизнер, 1985; 1987a; 1987б):

(3-10)

где ai=Ai, bi=Bi /qi, с1=C1/q2, c2=C2/q1. Таким образом, оценив параметры ai, bi, ci, qi, можно восстановить и величины параметров Аi,Вi;Сi исходной системы уравнения (3-8).

В уравнениях (3-10) u1 и u2 – уловы на единицу стандартизированного промыслового усилия, а E1 и E2 – величины стандартизированного промыслового усилия для промысла первого и второго вида соответственно. В качестве входной информации для параметризации модели используется только информация по промысловой статистике, а именно по три временных ряда для каждого включенного в модель запаса:

1)  улов на единицу усилия ui(t) для стандартного промыслового комплекса (промысловым комплексом называем сочетания типа судна и типа орудия лова),

2)  стандартизированное промысловое усилие Ei(t),

3)  относительное изменение улова на единицу усилия за интервал между двумя соседними моментами времени, чаще всего – за 1 год

. (3-11)

Отметим, что именно использование временных рядов типа (3-11) делает наш подход динамическим. Поскольку обычно промысел ведется одновременно судами разных классов с применением разнотипных орудий лова, то все три указанных выше временных ряда предварительно рассчитываются. Подробно все этапы настройки и стандартизация промыслового усилия описаны в разделе 3.3.1, а затем в гл. 4 проиллюстрированы на конкретном примере.

3.3.1. Методы настройки динамических продукционных моделей многовидового промысла

В данном разделе изложены методы настройки или параметризации динамических продукционных моделей, имеющие ряд принципиальных отличий от методов оценки параметров традиционных одновидовых продукционных моделей.

Настройку модели можно понимать по-разному. В каких-то случаях допустимо задание параметров модели (коэффициентов) на основе неформальных соображений. Иногда производят "перебор" значений параметров модели в некоторых диапазонах с последующим ее тестированием и окончательным выбором наилучших в определенном смысле значений этих параметров. Такую процедуру можно в принципе сделать более удобной для автоматизации расчетов, превратив ее в итерационную.

Другой подход состоит в минимизации некоторого функционала – меры отклонения измеренных или наблюденных величин от расчетных (например, суммы квадратов отклонений по всем исходным наблюдениям), точнее, в определении значений параметров модели, при которых достигается минимум этого функционала. Данный путь не всегда легко осуществим, так как минимизация функционалов может приводить к нелинейным задачам. Поэтому часто приходится заменять исходный критерий другим, более простым (например, линеаризовать задачу, переходя от фактических переменных к их логарифмам). Замена функционала на линеаризованный в общем случае приводит к изменению положения минимума, т. е. получаются в результате не те значения параметров, которые соответствуют «истинному» минимуму, но чаще всего близкие к ним, «находящиеся в их окрестности». Потому можно рекомендовать комбинированный метод, в котором минимизация некоторого достаточно простого функционала служит лишь для определения начальных значений параметров, а для их уточнения используется уже прямой перебор или какая-либо более совершенная процедура с контролем значений исходного нелинейного функционала.

Рассмотрим процедуру настройки модели применительно к системе уравнений (3-7), т. е. в общем случае это процедура определения коэффициентов ail. Рассмотрим сначала случай, когда известны не только величины мгновенных уловов Yi(tj), но и всех запасов в моменты времени t (t1,t2,..,tk). Будем обозначать эти заданные или фактические величины через (t). После того, как значения параметров ail определены, с помощью уравнения (3-7) рассчитываем значения тех же величин, обозначая их через Рi(tj). Будем считать их теоретическими или модельными значениями.

Если в качестве критерия близости модели (3-7) к исходным рядам (tj) при i = 1,..., n; j= I,..., k выбрать величину

, (3-12)

то задача настройки модели, состоящая в минимизации функционала S, разрешима лишь при условии, что k≥mn. Другими словами, для настройки модели в этом случае нужны достаточно длинные ряды исходных данных. Аналогичная ситуация возникает при минимизации различий не самих величин P, а относительных скоростей их изменений, то есть если целевой функционал имеет вид

(3-13)

Заметим, что поскольку переменные Pi (i=1,..,n) определяются численным интегрированием системы уравнений (3-7), то, подбирая значения параметров модели, минимизирующие функционал S1 формулы (3-13), мы рассматриваем переменные как функции аргументов Pi, которые принимают значения (tj) в моменты времени tj. Аналогично, при выборе функционала (3-12) следует сначала разрешить систему (3-7) относительно переменных Pi, то есть для каждого i выразить Pi как функцию t, и параметров aij. Затем, переходя к минимизации S, для каждого i считаем Pi функцией, а аргументами – переменные t и .

В тех случаях, когда исходные данные составляют недостаточно длинные ряды, критерий (3-12) следует заменить. Bместо функционала S минимизировать набор из n функционалов Si :

при ( i = 1,..., n). (3-14)

Вместо функционала S’ минимизировать набор из n функционалов S’i :

, (3-15)

по отдельности оценивая параметры ail (l = 1,...,n) для каждого i - го уравнения системы (3-7). Поскольку при таком подходе мы каждый раз определяем только m неизвестных параметров, необходимая длина исходных рядов для этого метода значительно меньше, а именно k³ m .

Поскольку абсолютные численности запасов оценить сложно, будем в дальнейшем пользоваться индексами запасов, а именно, рядами промысловых мгновенных уловов Y(tj) и мгновенных промысловых усилий Ei(tj) (i=1,…,n; j=1,…k), воздействующих на запасы. В этом случае, как показано выше, с помощью замены переменных переходим к следующей системе уравнений, выражающей dui/dtui через u1,u2,…,un и Ei :

(i=1,2,…,n) (3-16)

Тогда для определения параметров bil и qi вместо выражений (3.12) и (3.13) следует минимизировать функционалы

(3-17)

или , (3-18)

а вместо (3-14) и (3-15) – n функционалов вида

(3-19)

или n функционалов вида

, (3-20)