Регулирование многовидового рыболовства на основе математического моделирования (стр. 21 )

Результаты расчетов (табл. 4.5) соответствуют моменту времени t=8. Видно, что модель наименее чувствительна к изменениям параметров q1, q2 и b1 . Наибольшей оказалась чувствительность к параметрам a1 и a2.

На рис. 4.4 кривые 2, 3 и 4 соответствуют изменениям q1 и q2 в пределах от 0,65 до 1,2 и от 2,0 до 3,0 соответственно. Отклонения кривых в точке t = 8 на этом рисунке существенны, но поскольку они соответствуют большим изменениям q1 и q2 (на 55 и 40% соответственно), чувствительность модели к вариациям этих параметров невелика.

Таблица 4.5

Оценки чувствительности модели при изменении ее параметров, полученные для момента времени t =8,0.

Параметр	a1	b1	c1	a2	b2	c2	q1	q2
S(8)	3,55 3,39	0,07	1,82	1,63	1,03 1,50	0,72	0,06	0,07
S(u1,8)	4,17 4,43	0,08	1,83	2,25	1,84 1,74	1,16	0,06	0,06
S(u2,8)	1,60 1,37	0,05	1,82	0,14	0,17 0,22	0,04	0,07	0,08

Установленная низкая чувствительность модели к вариациям параметра b1 служит еще одним аргументом в пользу приравнивания его нулю.

Чтобы выяснить, за счет какой из выходных величин (u1 или u2) формируется общая чувствительность модели к некоторому параметру, нужно рассчитать показатели чувствительности, характеризующие изменчивость каждой из них в отдельности. Например, чувствительность u1 к изменению параметра а1 будет равна

. (4-5)

Из табл. 4.5 видно, что чувствительность к большинству параметров (a1, a2, b2, c2) обусловлена главным образом чувствительностью к ним переменной и1. Чувствительности u1 и u2 к параметру с1 равны, а к параметрам q1 и q2 несколько выше чувствительность переменной u2. Оценки, представленные в этой таблице, можно трактовать, например, следующим образом: при изменении a1 на 10% величина u1 изменится на 42-44%, a u2 – на 14-16%. Две цифры в одной клеточке таблицы свидетельствуют о том, что получены две оценки чувствительности при сравнении разных вариантов расчетов. Во всех рассмотренных случаях эти оценки получались достаточно близкими.

Рисунок 4.4. Оценивание чувствительности модели к варьированию параметров q1 и q2: при q1= 0,65, q2 = 3,0 (сплошная линия 1), при q1 = 1,2 и q2 = 2,0 (пунктир с точкой - 2), при q1 = 1,2 и q2 = 3,0 (пунктирная линия 3).

Рассмотрим еще один аспект чувствительности модели к варьированию параметров. Как было отмечено в разделе 4.3, начальные приближения коэффициентов улавливаемости найдены независимым способом (в нашем примере q1 = 0,9 и q2 = 2,5). В дальнейшем проводим уточнение этих значений. Каждому значению q1 соответствуют найденные при помощи построения множественной регрессии значения параметров а1, b1 и c1, а каждому значению q2 – параметров а2, b2 и c2. От всех этих параметров зависят и уравнения равновесных уловов, которые получаются из (4-1) при условии dui/dt=0:

Y1e=u1(a1-b1u1-c1u2);

Y2e=u2(a2-b2u2+c2u1).

Из этих уравнений получаем уравнения изолиний Y1e= const и Y2e= const (линий равных равновесных уловов) на фазовой плоскости {u1,u2}, которые представляют собой уравнения гиперболы:

u1=-a2+b2u2+ s2Y2e/u2,

u2=a1-b1u1- s1Y1e/u1, (4-6)

где a1=a1/c1, b1=b1/c1, s1=q1/c1; a2=a2/c2, b2=b2/c2, s2=q2/c2.

Значения параметров ai, bi, si для разных значений q1 и q2 приведены в табл. 4.6.

Таблица 4.6

Изменение параметров уравнений изолиний уловов при варьировании параметров q1 и q2

q1	a1	b1	s1	q2	a2	b2	s2
0,65	1,68	0	0,68	2,0	1,99	1,60	8,81
0,9	1,76	0	0,90	2,5	3,09	1,89	13,89
1,2	1,85	0	1,11	3,0	4,87	2,32	22,06

На рис. 4.5 приведены семейства изолиний Y1e=const для q1 = 0,65 и 1,2, т. е. для двух крайних значений этого коэффициента улавливаемости. Каждой точке в области существования положительных значений Y1e и Y2e на плоскости {u1,u2} формально соответствует пара значений (Y1e,Y2e), но вследствие неточности оценки параметров qi, эти значения тоже определяются с погрешностями.

Семейства изолиний Y2e = const при крайних значениях q2, равных 2 и 3, показаны пунктирными и сплошными линиями, соответственно (рис.4.6). Ломаная линия OMN представляет собой границу существования положительных равновесных уловов, причем вертикальная часть ломаной соответствует Y1e = 0 при q1= 0,9 (в данном примере при b1=0 уравнение этой линии u2=a1); наклонная же часть соответствует значениям Y2e =0, т. е. задается уравнением u1=–a2+b2u2 при q2 = 2,5.

Рисунок 4.5. Изолинии равновесных уловов первого вида (ставриды)

Y1e=const для q1=1.2 (сплошные линии) и q1= 0.65 (пунктир); ОNM - граница существования положительных равновесных уловов при q2=2.5. В точках K1-K6 рассчитана чувствительность равновесных уловов к варьированию q1 и q2 (см. табл. 4.7)

Таким образом, встает вопрос о чувствительности оценок равновесных уловов к вариациям параметров q1 и q2. Рассмотрим некоторое фиксированное состояние системы . Выразим величины равновесных уловов, соответствующие этому состоянию, из системы (4-6):

.

Разным значениям q1 соответствуют разные значения Y1e, то же утверждение относится и к q2 и Y2e . Чувствительность значений равновесных уловов к изменениям параметров q1 и q2 можно характеризовать показателями Sq1(Y1e) и Sq2(Y2e), которые рассчитываются по формулам, аналогичным (4-5). Эти показатели также зависят и от координат выбранной точки.

Рисунок 4.6. Изолинии равновесных уловов второго вида (хека) Y2e=const

для q2=3,0 (сплошные линии) и для q2= 2,0 (пунктир); рассчитанные для точек K1-K6 оценки чувствительности равновесных уловов к варьированию значений параметров q1 и q2 приведены в табл. 4.7).

Для определенности рассмотрим некоторый прямоугольник на этой плоскости, включающий в себя фазовую картину "реальных" состояний системы двух видов. Внутри этого прямоугольника можно считать справедливыми и саму модель, и выводы и рекомендации, которые можно из нее получить. Для шести произвольно выбранных точек из этого прямоугольника рассчитаны оценки чувствительности Y1e и Y2e к изменениям q1 и q2 (табл. 4.7).

Таблица 4.7

Оценки чувствительности значений равновесных уловов к изменению значений параметров q1 и q2, в разных точках фазовой плоскости

Точка	K1	K2	K3	K4	K5	K6
Координаты	2,0;1,0	1,95;1,3	1,6;1,2	1,0;1,0	1,0;1,4	0,6;1,4
Sq2(Y2e)	0,72	0,50	0,29	0,01	0,12	0,21
Sq1(Y1e)	0,78	0,21	0,32	0.39	0,01	0,01

Таким образом, чувствительность заметно зависит от координат точек на плоскости. Главный вывод, который можно сделать, таков: чувствительность Y1e и Y2e к оценкам q1 и q2 невелика: например, при изменении qi на 10% оценка Y1e или Y2e изменится меньше, чем на 8%.