Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок (стр. 10 )

Если t = 3, х1 = 80, х2 = 60, то х1t + х2t = 80 · 3 + 60 · 3 = (80 + 60) · 3 =
= 140 · 3 = 420 км.

Ответ: 420 км.

6. 2p – (3p – (2p – c)) = 2p – (3p – 2p + c) = 2p – 3p + 2p – c =
= (2 – 3 + 2) p – c = p – c.

Ответ: р – с.

Вариант 3

1. Если x = , y = , то 4х + 3у = =
= –3 – = –3.

Ответ: –3.

2. Если а = 10, то –0,4а + 2 = –0,4 · 10 + 2 = –4 + 2 = –2;

–0,4а – 2 = –0,4 · 10 – 2 = –4 – 2 = –6.

–2 > –6, значит, –0,4а + 2 > –0,4а – 2 при а = 10.

Ответ: –0,4а + 2 > –0,4а – 2 при а = 10.

3. а) 5x + 3y – 2x – 9y = (5 – 2) x + (3 – 9) y = 3x – 6y;

  б) 2 (3а – 4) + 5 = 6а – 8 + 5 = 6а – 3;

  в) 15a – (a – 3) + (2a – 1) = 15а – а + 3 + 2а – 1 = (15 – 1 + 2) а +
+ (3 – 1) = 16а + 2.

Ответ: а) 3х – 6у; б) 6а – 3; в) 16а + 2.

4. –2 (3,5y – 2,5) + 4,5y – 1 = –7у + 5 + 4,5у – 1 = (–7 + 4,5) у + (5 – 1) =
= –2,5у + 4.

Если y = , то

Ответ: 2.

5.

Велосипедист проехал х · t км, значит, пешеход прошел s – х · t км. Скорость пешехода равна (s – х · t) : t км/ч.

Если s = 9, t = 0,5, х = 12, то (s – х · t) : t = (9 – 12 · 0,5) : 0,5 = 3 : 0,5 = 6.

Ответ: 6 км/ч.

6. 5a – (3a – (2a – 4)) = 5а – (3а – 2а + 4) = 5а – 3а + 2а – 4 =
= (5 –3 + 2) а – 4 = 4а –4.

Ответ: 4а –4.

Вариант 4

1. Если a = , b = , то 12a – 3b = 12 · =

.

Ответ: –11.

2. Если х = 5, то 1 – 0,6х = 1 – 0,6 · 5 = 1 – 3 = –2;

1 + 0,6х = 1+ 0,6 · 5 = 1 + 3 = 4.

–2 < 4, значит, 1 – 0,6х < 1 + 0,6х  при х = 5.

Ответ: 1 – 0,6х < 1 + 0,6х  при х = 5.

3. а) 12a – 10b – 10a + 6b = (12 – 10) а + (–10 + 6) b = 2а – 4b;

б) 4 (3х – 2) + 7 = 12х – 8 + 7 = 12х – 1;

в) 8x – (2x + 5) + (x – 1) = 8х – 2х –5 + х – 1 = (8 – 2 + 1) х + (–5 – 1) =
= 7х – 6.

Ответ: а) 2а – 4b; б) 12х – 1; в) 7х – 6.

4. –5 (0,6c – 1,2) – 1,5c – 3 = –3с + 6 – 1,5с – 3 = (–3 – 1,5)с + (6 – 3) =
= –4,5 с + 3.

Если c = , то

Ответ: 5.

5.

Первый пешеход прошел х1 · а км, второй прошел  х2 · а км, значит, расстояние между пунктами равно х1 · а + х2 · а км.

Если х1 = 5, х2 = 4, а = 3, то х1 · а + х2 · а = 5 · 3 + 4 · 3 = (5 + 4) · 3 =
= 9 · 3 = 27.

Ответ: 27 км.

6. 7x – (5x – (3x + y)) = 7x – (5x – 3x – y) = 7x – 5x + 3x + y =

= (7 – 5 + 3) х + у = 5х + у.

Ответ: 5х + у.

Урок 13
Анализ результатов контрольной работы.
Уравнение и его корни

Цели: проанализировать задания контрольной работы, выявить типичные  ошибки,  допущенные  учащимися,  провести  работу  над  ошибками; ввести понятия «уравнение с одной переменной», «корень уравнения», «решить уравнение», «равносильные уравнения»; формировать умение заменять уравнение равносильным на основе некоторых свойств уравнения.

Ход урока

I. Анализ результатов контрольной работы.

II. Устная работа.

Найдите значение выражения.

а) ;                г) 72 + 5;                        ж) | 3 | + 0,5;

б) ;                д) (–3)2 + ;                з) | –5 | – 7;

в) ;                е) (–2)3 – ;                и) .

III. Объяснение нового материала.

1. Значимость изучаемого материала.

Уравнение как общематематическое понятие многоаспектно. Оно функционирует как:

џ средство решения текстовых задач;

џ особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;

џ формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.

Линия уравнений тесно связана со всеми содержательными линиями школьного курса математики. На данном этапе важно показать учащимся тесную связь линии уравнений именно с линией тождественных преобразований. Последняя приобретает новое содержание и смысл именно при изучении равносильных преобразований уравнений и, в дальнейшем, неравенств. В свою очередь, владение содержанием линии уравнений и неравенств позволяет расширить список выполнимых преобразований.

2. Мотивация изучения.

Уравнение, будучи математической моделью реальных процессов, первоначально возникает как обобщение метода решения задач арифметическим методом, а затем используется при решении текстовых задач, фабула которых отражает многообразные реальные процессы окружающего мира. Данный аспект линии уравнений обеспечивает мотивацию изучения школьного курса математики в целом. Демонстрируем учащимся, что при решении текстовых задач ведущим аппаратом является математическое моделирование, а одним из средств построения модели и решения ситуации в её рамках – уравнение.

Разбираем задачу со с. 22–23 учебника и вводим понятие «уравнение с одной переменной».

3. Введение основных определений.

Вводим четкое определение понятия корня уравнения.

Определение 1. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Показываем на примерах, что уравнение с одной переменной может иметь как конечное число корней, так и бесконечное, а также может не иметь корней вообще. Отсюда вытекает следующее определение.

Определение 2. Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

4. Понятие равносильных уравнений.

Определение 3. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.

Следует подчеркнуть, что замена исходного уравнения равносильным позволяет более просто и рационально решать исходное уравнение.

Показываем на примерах, с помощью каких приемов можно получать уравнения, равносильные данному. Отмечаем, что такие свойства уравнений опираются на свойства числовых равенств.

IV. Формирование умений и навыков.

Задания, решаемые на этом уроке, направлены на усвоение понятия «корень уравнения» (1-я группа), на нахождение корней некоторых уравнений (2-я группа) и на применение свойств уравнений, позволяющих заменять их равносильными уравнениями (3-я группа).

1-я группа

№ 000, № 000, № 000.

При выполнении этих заданий ученики проговаривают определение корня уравнения и способ проверки.

2-я группа

№ 000.

Решение:

а) 1,4 (у + 5) = 7 + 1,4у;

1,4у + 1,4 · 5 = 7 + 1,4у;

1,4у + 7 = 1,4у + 7.

При любом значении у равенство верное, значит, корнем уравнения является любое число.

б) у – 3 = у.

При любом значении у левая часть уравнения на 3 меньше его правой части, значит, уравнение не имеет корней.

№ 000.

Решение:

1. 2(х + 3) = 2х + 6;

  2х + 6 = 2х + 6.

Корнем уравнения является любое число.

2. 2у = 4у;

  2у – 4у = 0;

  – 2у = 0;

  у = 0.

3. 4 (с – 2) = 3с – 6;

  4с – 8 = 3с – 6;

  4с – 3с = 8 – 6;

  с = 2.

4. 3х + 11 = 3(х + 4);

  3х + 11 = 3х + 12.

Уравнение не имеет корней.

Ответ: 4.

№ 000.

Решение:

а) | x | = 1, если х = 1 или х = –1, значит, уравнение имеет 2 корня.

б) | x | = 0, если х = 0, значит, уравнение имеет один корень.

в) | x | = –5. Уравнение не имеет корней, так как, по определению модуля, модуль любого числа есть число неотрицательное.

г) | x | = 1,3,  если  х = 1,3  или  х = –1,3,  значит,  уравнение  имеет  два корня.