Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок (стр. 66 )

3*. Какой многочлен надо записать вместо *, чтобы получившееся равенство было тождеством:

(x + 1) ∙  * = x2 + 3x + 2?

Вариант 2

1. Разложите на множители.

а) 5x2 – 45;                        в) ax2 – 2axy + ay2;

б) –2ay2 + 2a3;                        г) –2x2 – 8x – 8.

2. Представьте в виде произведения.

а)                б)

3*. Какой многочлен надо записать вместо *, чтобы получившееся равенство было тождеством:

(x – 1) ∙  * = x2 – 4x + 3?

IV. Итоги урока.

– Какие вы знаете способы разложения многочлена на множители?

– В чём состоит каждый из этих способов?

– Как способ группировки применяется в сочетании с формулами сокращенного умножения?

Домашнее задание: № 000; № 000 (б, г); № 000; № 000.

Урок 99
Разложение многочлена на множители
при решении различных задач

Цели: закрепить умение использовать различные способы разложения многочлена на множители; рассмотреть решение некоторых задач с применением разложения на множители.

Ход урока

I. Устная работа.

Разложите многочлен на множители.

а) 4y5 – 6y8;                 б) 4900 – а2;                        в) x2 – ;

г) y2 – 6y + 9;                 д) 81x2 – y2;                е) 25a2 – 10a + 1;

ж) у3 + 8;                 з) 121n2 – m10.

II. Формирование умений и навыков.

На этом уроке следует рассмотреть, как могут быть применены различные способы разложения на множители при решении задач. Можно выделить три направления такого применения:

1) для упрощения вычислений на калькуляторе;

2) для решения уравнений;

3) для доказательства некоторых утверждений.

В соответствии с этим все задания можно разделить на три группы.

1-я группа

Сначала необходимо рассмотреть пример 4 из учебника, показывающий, как можно рационально выполнить вычисления на калькуляторе, если использовать разложение на множители. Для закрепления следует выполнить № 000.

2-я группа

1. № 000.

Решение:

а) х3 – х = 0.

  х (х2 – 1) = 0;

  х (х – 1) (х + 1) = 0;

  х = 0,  или  х – 1 = 0,  или  х + 1 = 0.

Ответ: 0; –1; 1.

б) 9х – х3 = 0.

  х (9 – х2) = 0;

  х (3 – х) (3 + х) = 0;

  х = 0,  или  3 – х = 0,  или  3 + х = 0.

Ответ: –3; 0; 3.

в) х3 + х2 = 0.

  х2 (х + 1) = 0;

  х2 = 0  или  х + 1 = 0;

  х = 0  или  х = –1.

Ответ: –1; 0.

г) 5х4 – 20х2 = 0.

  5х2 (х2 – 4) = 0;

  5х2 (х – 2) (х + 2) = 0;

  5х2 = 0,  или  х – 2 = 0,  или  х + 2 = 0;

  х = 0,  или  х = 2,  или  х = –2.

Ответ: –2; 0; 2.

2. Можно предложить учащимся решить более сложные уравнения.

а) 2x3 – x2 – 18x + 9 = 0;                        б) 2x3 + 3x2 = 2x + 3.

Решение:

а) 2x3 – x2 – 18x + 9 = 0.

  (2x3 – x2) – (18x – 9) = 0;

  x2 (2x – 1) – 9 (2x – 1) = 0;

  (2x – 1) (x2 – 9) = 0;

  (2x – 1) (x – 3) (x + 3) = 0;

  2х – 1 = 0,  или  х – 3 = 0,  или  х + 3 = 0;

  х = ,  или  х = 3,  или  х = –3.

Ответ: –3; ; 3.

б) 2x3 + 3x2 = 2x + 3.

  (2x3 + 3x2) – (2x + 3) = 0;

  x2 (2x + 3) – (2x + 3) = 0;

  (2x + 3) (x2 – 1) = 0;

  2х + 3 = 0,  или  х – 1 = 0,  или  х + 1 = 0;

  х = ,  или  х = 1,  или  х = –1.

Ответ: –1,5; –1; 1.

3-я группа

1. № 000.

Решение:

Разложим данный многочлен на множители:

Получили произведение трёх последовательных целых чисел. Так как числа последовательные, то хотя бы одно из них чётно, то есть кратно 2, а другое кратно 3. Это означает, что всё произведение кратно 6.

2. № 000.

Решение:

Пусть 2п + 1 и 2п + 3 – два последовательных нечётных числа. Найдем разность их квадратов.

(2п + 3)2 – (2п + 1)2 = ((2п + 3) – (2п + 1)) ((2п + 3) + (2п + 1)) =

= (2п + 3 – 2п – 1) (2п + 3 + 2п + 1) = 2 (4п + 4) = 8 (п + 1).

Значит, исходное выражение делится на 8.

III. Итоги урока.

– Какие вы знаете способы разложения на множители?

– Опишите суть каждого способа.

– При решении каких задач пригодится умение раскладывать многочлен на множители?

Домашнее задание: № 000; № 000; № 000 (а); № 000 (а, г).

Урок 100
Контрольная работа № 8

Вариант 1

1. Упростите выражение.

а) (x – 3) (x – 7) – 2x (3x – 5);                в) 2 (m + 1)2 – 4m.

б) 4a (a – 2) – (a – 4)2;

2. Разложите на множители.

а) х3 – 9х;                                        б) –5a2 – 10ab – 5b2.

3. Упростите выражение

4. Разложите на множители.

а) 16х4 – 81;                                        б) х2 – х – y2 – y.

5. Докажите, что выражение х2 – 4х + 9 при любых значениях х принимает положительные значения.

Вариант 2

1. Упростите выражение.

а) 2х (х – 3) – 3х (х + 5);                        в) 3 (y + 5)2 – 3y2.

б) (a + 7) (a – 1) + (a – 3)2;

2. Разложите на множители.

а) с3 – 16с;                                        б) 3a2 – 6ab + 3b2.

3. Упростите выражение

4. Разложите на множители.

а) 81а4 – 1;                                        б) y2 – х2 – 6х – 9.

5. Докажите, что выражение –а2 + 4а – 9 может принимать лишь отрицательные значения.

Вариант 3

1. Упростите выражение.

а) 2c (1 + c) – (c – 2) (c + 4);                в) 30х + 3 (х – 5)2.

б) (y + 2)2 – 2y (y + 2);

2. Разложите на множители.

а) 4а – а3;                                        б) ax2 + 2ax + a.

3. Упростите выражение

4. Разложите на множители.

а) 16 – y4;                                        б) a + a2 – b – b2.

5. Докажите, что выражение c2 – 2c + 12 может принимать лишь положительные значения.

Вариант 4

1. Упростите выражение

а) 5a (2 – a) + 6a (a – 7);                        в) 20x + 5 (x – 2)2.

б) (b – 3) (b – 4) – (b + 4)2;

2. Разложите на множители.

а) 25у – у3;                                        б) –4x2 + 8xу – 4у2.

3. Упростите выражение

4. Разложите на множители.

а) – b4;                                        б) a2 – x2 + 4x – 4.

5. Докажите, что выражение –у2 + 2у – 5 при любых значениях у принимает отрицательные значения.

Решение заданий контрольной работы

Вариант 1

1. а)
= –5x2 + 21;

  б)

  в)
= 2m2 + 2.

2. а) х3 – 9х = х (х2 – 9) = х (х – 3) (х + 3);

  б)