Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок (стр. 53 )

в) –6y3 · ;                        е) –3п5 (п3 – 2п).

2. Сколько слагаемых получится со знаком «+» и сколько со знаком «–» при умножении многочленов:

а) (a + 2) (b + 5);                        в) (n2 – 3) (m – 5);

б) (х – 3) (у + 7);                        г) (–а – 2) (с – 4)?

II. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу войдут задания на доказательство тождеств, а во 2-ю группу – на доказательство утверждений о делимости, кратности и др.

1-я группа

Прежде чем приступить к выполнению заданий этой группы, нужно вспомнить логику доказательства тождеств.

Для наглядности можно вынести на доску схему:

1)    2)    3) 

То есть существует три основных приема доказательства тождеств:

1) преобразовать левую часть тождества в правую или правую часть тождества в левую;

2) показать, что левая и правая части исходного равенства тождественно равны одному и тому же выражению;

3) показать, что разность левой и правой части исходного равенства тождественно равна нулю.

1. № 000 (а), № 000 (а).

При доказательстве этих тождеств используется первый прием, то есть мы будем преобразовывать одну часть равенства до тех пор, пока она не станет тождественно равной другой части равенства.

2. № 000 (а).

При доказательстве этого тождества используется второй прием.

Решение:

а) (x – 3) (x + 7) – 13 = (x + 8) (x – 4) – 2.

Преобразуем левую часть равенства:

Преобразуем правую часть равенства:

Получаем следующее: левая и правая части равенства тождественно равны одному и тому же выражению, значит, исходное равенство является тождеством.

2-я группа

1. № 000.

Решение:

а) Упростим данное выражение:

Получаем, что исходное выражение равно числу –36, значит, не зависит от переменной х.

б)

2. № 000 (а).

Решение:

а) Упростим данное выражение:

Поскольку каждое слагаемое суммы 6п + 6 кратно 6, то и вся сумма кратна 6.

3. № 000.

Решение:

Четыре последовательных нечётных числа можно записать в следующем виде:

а = 2п + 1,  b = 2п + 3,  с = 2п + 5  и  d = 2п + 7.

Составим разность cd – ab:

(2n + 5) (2n + 7) – (2n + 1) (2n + 3).

Преобразуем это выражение:

– 6n – 2n – 3 = 16n + 32 = 16 (n + 2).

Очевидно, что полученное выражение кратно 16.

III. Итоги урока.

– Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

– Как перемножить три многочлена?

– Какие существуют приемы доказательства тождеств?

Домашнее задание:  № 000 (б);  № 000 (б);  № 000 (б);  № 000;
№ 000 (б).

Урок 76
Решение уравнений и задач
на составление уравнений

Цели: закрепить умение умножать многочлены; рассмотреть применение данного умения при решении уравнений и текстовых задач; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Устная работа.

Выполните умножение.

а) 2a3 · a5;                 г) 4а2 (2а – 7);                ж) (а + 2) (b – 7);

б) –0,7х2 · 5х8;                 д) x (2x – 5x2);                з) (х – 3) (2 – у);

в) y · (–6y4);         е) –3р4 (2р2 – 5р3);                и) (2х2 – 1) (х4 + 3);

к) (–2 – п) (т – 5).

II. Формирование умений и навыков.

Задания можно разбить на две группы. 1-я группа – это задания, в которых требуется использовать умение выполнять умножение многочленов для решения уравнений. А во 2-ю группу войдут задачи на составление уравнений.

1-я группа

№ 000.

Решение:

б) (1 – 2х) (1 – 3х) = (6х – 1) х – 1;

  1 – 3х – 2х + 6х2 = 6х2 – х – 1;

  6х2 – 5х + 1 – 6х2 + х + 1 = 0;

  –4х = –2;

  х = .

Ответ: .

г) (х + 4) (х + 1) = х – (х – 2) (2 – х);

  х2 + х + 4х + 4 = х – 2х + х2 + 4 – 2х;

  х2 + 5х + 4 – х2 + 4х – 4 = 0;

  9х = 0;

  х = 0.

Ответ: 0.

2-я группа

1. № 000.

Решение:

Пусть  даны  три  последовательных  нечётных  числа:  2п + 1,  2п + 3,
2п + 5. Найдем произведение двух больших из них: (2п + 3) (2п + 5) и произведение двух меньших: (2п + 1) (2п + 3). По условию разность между этими произведениями равна 76.

Составим и решим уравнение.

(2п + 3) (2п + 5) – (2п + 1) (2п + 3) = 76.

4п2 + 10п + 6п + 15 – 4п2 – 6п – 2п – 3 = 76;

8п + 12 = 76;

8п = 64;

п = 8.

Найдем числа:                2п + 1 = 2 · 8 + 1 = 17.

                               2п + 3 = 2 · 8 + 3 = 19.

                               2п + 5 = 2 · 8 + 5 = 21.

Ответ: 17, 19 и 21.

2. № 000.

Решение:

Пусть  длина  прямоугольника  равна  х см,  тогда  его  ширина  равна
(35 – х) см. Значит, этот прямоугольник имеет площадь х (35 – х) см2.

Длину уменьшили на 5 см, и она стала равна (х – 5) см, а ширину увеличили на 5 см, и она стала равна (40 – х) см. Тогда площадь нового прямоугольника стала (х – 5) (40 – х) см2. По условию эта площадь на 50 см2 больше, чем площадь данного прямоугольника.

Составим и решим уравнение:

(х – 5) (40 – х) – х (35 – х) = 50;

40х – х2 – 200 + 5х – 35х + х2 = 50;

10х – 200 = 50;

10х = 250;

х = 25.

Значит, длина исходного прямоугольника равна 25 см, тогда его ширина равна 10 см.

Ответ: 25 см и 10 см.

В процессе решения задач сильным учащимся дополнительно можно предложить выполнить задания на карточках.

Карточка № 1

1. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:

2. Докажите, что значение выражения (163 – 83) (43 + 23) делится на 63.

3. Докажите, что произведение двух средних из четырех последовательных целых чисел на 2 больше произведения крайних чисел.

Карточка № 2

1. Преобразуйте произведение в многочлен стандартного вида:

2. Докажите,  что  значение  выражения  (1252 + 252) (52 – 1)  делится
на 39.

3. Докажите, что квадрат среднего из трёх последовательных нечётных чисел на 4 больше произведения двух крайних чисел.

Решение заданий на карточках

Карточка № 1

1.

+ 56m3 – 7m4 + 12m – 32m2 + 4m3 = 2m5 – 23m4 + 64m3 – 53m2 + 12m.

2. Преобразуем  данное  выражение  и  вынесем  за  скобки  общий множитель:

(163 – 83) (43 + 23) = (212 – 29) (26 + 23) = 29(23 – 1) · 23 (23 + 1) =
= 212 · 7 · 9 = 212 · 63.

Очевидно, что данное произведение делится на 63.

3. Пусть даны четыре последовательных целых числа:  п,  п + 1,  п + 2, п + 3. Произведение средних чисел равно (п + 1) (п + 2), а произведение крайних чисел равно п (п + 3).

Составим разность и упростим её:

(п + 1) (п + 2) – п (п + 3) = п2 + 2п + п + 2 – п2 – 3п = 2.

Утверждение доказано.

Карточка № 2

1.

2. Преобразуем  данное  выражение  и  вынесем  за  скобки  общий множитель:

(1252 + 252) (52 – 1) = (56 + 54) (52 – 1) = 54 (52 + 1) (52 – 1) =
= 54 · 26 · 24 = 54 · 2 · 13 · 8 · 3 = 54 · 16 · 39.

Очевидно, что данное произведение делится на 39.

3. Пусть даны три последовательных нечётных числа:  2п + 1,  2п + 3,
2п + 5. Квадрат среднего из них равен (2п + 3)2, а произведение крайних равно (2п + 1) (2п + 5).