Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок (стр. 56 )

  б) ax – ay + cy – cx – x + y = (ax – ay) + (cy – cx) – (x – y) =
= a (x – y) – c (x – y) – (x – y) = (x – y) (a – c – 1).

5. Пусть  одна  сторона  клумбы  равна  х м,  тогда  другая  сторона равна (х + 5) м. Значит, площадь клумбы равна х (х + 5) м2.

Найдем площадь участка, состоящего из клумбы и дорожки. Этот участок имеет прямоугольную форму, его стороны равны (х + 2) м и (х + 7) м. Значит, площадь участка равна (х + 2) (х + 7) м2.

Составим и решим уравнение:

(х + 2) (х + 7) – х (х + 5) = 26;

х2 + 7х + 2х + 14 – х2 – 5х = 26;

4х = 12;

х = 3.

Ответ: 3 м и 8 м.

Урок 80
Анализ результатов контрольной работы

Цели: обобщить и систематизировать знания учащихся; проанализировать ошибки, сделанные в контрольной работе.

Ход урока

I. Анализ результатов контрольной работы.

Самые распространенные ошибки разбираются на доске с обсуждением, а затем каждый из учащихся делает работу над своими ошибками под контролем учителя.

II. Обобщение и систематизация знаний.

Те учащиеся, которые допустили ошибки в контрольной работе, после их  исправления  решают  номера  из  учебника:  № 000 (а, в);  № 000;
№ 000 (а, в); № 000.

Сильным учащимся можно предложить задания повышенного уровня сложности.

1. № 000.

Решение:

а) Запишем числа и в виде многочлена:

Найдем их сумму и преобразуем её:

Очевидно, что число 11 (a + b) делится на a + b.

б)

Очевидно, что это число кратно 9.

2. № 000.

Решение:

Рассмотрим процесс движения мотоциклистов до их встречи. Пусть скорость первого мотоциклиста х км/ч, тогда скорость второго 1,5х км/ч. До встречи они вместе проедут расстояние, равное 240 км.

Заполним таблицу:

s	х	t
Первый мотоциклист	2,4х км	х км/ч	2,4 ч
Второй мотоциклист	2,4 · 1,5х км	1,5х км/ч	2,4 ч

Составим и решим уравнение:

2,4х + 2,4 · 1,5х = 240;

2,4 (х + 1,5х) = 240;

2,5х = 100;

х = 40.

Получаем, что скорости мотоциклистов  равны  40 км/ч  и  40 · 1,5 =
= 60 км/ч.

Расстояние от пункта А до места встречи равно 2,4х = 2,4 · 40 = 96 км. Тогда расстояние от места встречи до В равно 120 – 96 = 24 км.

Ответ: 40 км/ч, 60 км/ч, 24 км.

3. № 000.

Решение:

Сделаем рисунок к задаче:

Пусть в растворе первоначально было х г соли, значит, её концентрация была равна · 100 %. В новом растворе стало (х + 20) г соли, то есть её концентрация стала равна · 100 %.

По условию концентрация соли повысилась на 3,75 %. Составим и решим уравнение:

· 100 – · 100 = 3,75;

= 3,75;

.

Домножим обе части уравнения на 120.

24 (х + 20) – 25х = 30 · 15;

24х + 480 – 25х = 450;

– х = –30;

х = 30.

Значит, первоначально в растворе было 30 г соли.

Ответ: 30 г.

4. № 000.

Решение:

Преобразуем левую часть равенства:

(10a + b) (10a + c) = 100a2 + 10ac + 10ab + bc = 100a2 + 10a (b + c) + bc.

Преобразуем правую часть равенства:

100а (а + 1) + bc = 100a2 + 100a + bc.

У полученных выражений есть одинаковые слагаемые. Это 100a2 и bc. Но если b + c = 10, то 10а (b + c) = 10а · 10 = 100а, то есть все слагаемые у этих выражений равны. Значит, данное равенство верно при условии, что b + c = 10.

а) 23 · 27.

Здесь а = 2, bc = 3 · 7 = 21. Имеем:

23 · 27 = 100 · 2 · 3 + 21 = 621.

б) 42 · 48.

Здесь а = 4, bc = 2 · 8 = 16. Имеем:

42 · 48 = 100 · 4 · 5 + 16 = 2016.

III. Итоги урока.

– Что называется многочленом? Степенью многочлена?

– Как умножить одночлен на многочлен?

– Как умножить многочлен на многочлен?

– Какие вы знаете способы разложения многочлена на множители?

– Опишите алгоритм способа группировки разложения многочлена на множители.

Домашнее задание: № 000 (г, е); № 000; № 000 (б, г); № 000.

Урок 81
Деление с остатком

Цели: изучить, как может быть представлено любое целое число при делении его с остатком на некоторое натуральное число; использовать данное представление при решении задач на делимость чисел.

Ход урока

I. Актуализация знаний.

Учащиеся уже умеют делить с остатком натуральные числа. Можно дать им выполнить несколько таких заданий и записать полученные результаты:

17 : 2 = 8 (ост. 1);                20 : 3 = 6 (ост. 2);                23 : 5 = 4 (ост. 3).

Затем предложить учащимся записать числа 17, 20 и 23, используя делитель, частное и остаток:

17 = 8 · 2 + 1;                        20 = 6 · 3 + 2;                23 = 4 · 5 + 3.

II. Изучение нового материала.

1. Рассмотреть деление целых чисел на натуральные с остатком и снова прийти к равенствам, подобным тем, которые были получены на этапе актуализации. Например:

–13 = 5 · (–3) + 2;                –20 = 7 · (–3) + 1;                –32 = 3 · (–11) + 1.

2. Делается вывод о том, что любое целое число а при делении на натуральное число b может быть записано в виде:

a = bq + r, где q – частное от деления,

                               r – остаток, 0 ≤ r < b.

Данное утверждение доказывается.

3. Рассматривается вопрос о разбиении чисел на классы при делении с остатком.

III. Закрепление изученного материала.

1. № 000.

Решение:

Если число а при делении на 7 даёт в остатке 3, то оно может быть записано в виде:

а = 7q + 3, где q – частное от деления.

Перебирая различные q, будем получать искомые числа:

q = 0, а = 7 · 0 + 3 = 3;

q = 1, а = 7 · 1 + 3 = 10;

q = 2, а = 7 · 2 + 3 = 17 (не удовлетворяет условию);

q = –1, а = 7 · (–1) + 3 = –4;

q = –2, а = 7 · (–2) + 3 = –11;

q = –3, а = 7 · (–3) + 3 = –18 (не удовлетворяет условию).

Ответ: –11, –4, 3, 10.

2. № 000.

Решение:

Если число т при делении на 35 даёт в остатке 15, то оно может быть записано в виде:

т = 35q + 15, где q – частное от деления.

Каждое слагаемое этой суммы делится на 5, значит, и вся сумма делится на 5.

Первое слагаемое суммы делится на 7, а второе не делится, значит, вся сумма не делится на 7.

Ответ: на 5 делится, на 7 не делится.

3. № 000.

Решение:

Согласно условию число а может быть записано в виде:

a = bc + d.

Если числа b, c и d нечётные, то приходим к следующим выводам:

1) число bc – нечётное (как произведение двух нечётных чисел);

2) число bc + d – чётное (как сумма двух нечётных чисел).

Получится следующее: если числа b, c и d нечётные, то число а будет только чётным. Значит, числа а, b, c и d не могут быть одновременно нечётными.

4. № 000.

Решение:

Если числа а и b при делении на 3 дают различные остатки, то они могут быть записаны в виде:

а = 3q + 1  и  b = 3р + 2.

Найдем число аb + 1:

аb + 1 = (3q + 1) (3р + 2) + 1 = 9рq + 6q + 3р + 3.

Каждое слагаемое полученной суммы делится на 3, значит, и вся сумма делится на 3.

5. № 000.

Решение:

Если при делении числа а на 12 получается остаток 5, то число а может быть записано в виде:

а = 12q + 5, где q – частное от деления.

При делении числа а = 12q + 5 на 4 первое слагаемое суммы разделится на 4 без остатка, а второе даст в остатке 1. Значит, число а при делении на 4 даст в остатке 1.

Ответ: 1.

6. № 000.

Решение:

Если число а при делении на 5 даёт в остатке 1, то оно может быть записано в виде:

а = 5q + 1, где q – частное от деления.

Если же это число при делении на 7 даёт в остатке 1, то его можно записать так:

а = 7р + 1, где р – частное от деления.

По условию q больше р на 4. Получим систему уравнений:

5р + 20 + 1 = 7р + 1;

2р = 20;

р = 10.

Найдем число а:

а = 7р + 1 = 7 · 10 + 1 = 71.

Ответ: 71.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: № 000; № 000; № 000; № 000.

Урок 82
Формулы квадрата суммы и разности
двух выражений

Цели: вывести формулы квадрата суммы и разности двух выражений; формировать умение использовать эти формулы.