Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок (стр. 69 )

2. Решением какого уравнения является пара чисел ?

а) 2x + y = 1;                        в) x + 2y = 2;

б) x – y = ;                        г) x – 3y = 0.

II. Объяснение нового материала.

На этом уроке следует разобрать, как в линейных уравнениях выражать одну переменную через другую и как с помощью этого можно находить решения таких уравнений. также нужно рассмотреть вопрос о решении уравнений в целых числах.

1. Выражение одной переменной через другую.

Сначала необходимо актуализировать знания учащихся, задав им следующие вопросы:

– Какие два уравнения называются равносильными?

– Будут ли уравнения 3х = 9 и 2х = 6 равносильны?

– Какие преобразования можно совершать при решении линейных уравнений с одной переменной?

– Поясните каждое из проводимых преобразований на примере решения уравнения 1 – 2х = 5.

Затем сообщить учащимся, что уравнения с двумя переменными обладают такими же свойствами, как и уравнения с одной переменной, а значит, при их решении можно выполнять аналогичные преобразования. Благодаря этому появляется возможность выражать в таких уравнениях одну переменную через другую.

Примеры:

а) х + 2y = 4.

Выразим переменную х через у:

х = 4 – 2y.

Выразим переменную у через х:

2у = 4 – х;

у = .

б) 3х – 5y = 2.

3х = 2 + 5y;                –5y = 2 – 3х;

х = .                y = .

2. решение линейных уравнений с двумя переменными.

Замечаем, что с помощью выражения одной переменной через другую можно находить разнообразные решения линейных уравнений с двумя переменными. Рассмотреть по учебнику решение уравнения 5x + 2y = 12. Ещё раз сделать вывод о том, что подобные уравнения могут иметь бесконечно много решений.

3. решение уравнений в целых числах.

Учащиеся уже разобрали, как решаются линейные уравнения с двумя переменными, и выяснили, что они могут иметь бесконечно много решений. Среди всех решений есть пары, включающие в себя дробные числа.

Однако при решении некоторых задач возникает необходимость отыскать только целые или натуральные пары решений уравнений с двумя переменными. Рассмотреть пример решения такой задачи из учебника.

III. Формирование умений и навыков.

Основная цель на этом уроке состоит в том, чтобы учащиеся научились в линейных уравнениях с двумя переменными выражать одну переменную через другую и отыскивать решения таких уравнений.

К решению задач на составление уравнений можно перейти только в том случае, если данное умение будет сформировано в полной мере.

1. № 000.

2. № 000.

Решение:

а) 3х + 2у = 12.

  2у = 12 – 3х;

  у = ;

  у = 6 – 1,5х;

если х = 2,        то у = 6 – 1,5 · 3 = 3                (2; 3);

если х = –4,        то у = 6 – 1,5 · (–4) = 12                (–4; 12);

если х = 10,        то у = 6 – 1,5 · 10 = –9                (10; –9).

3. № 000.

4. № 000.

Решение:

Пусть было взято х двухрублёвых и у пятирублёвых монет. Получим уравнение:

2х + 5у = 28.

Требуется найти все пары натуральных значений переменных х и у, удовлетворяющих этому уравнению.

Выразим переменную х через у:

2х = 28 – 5у;

х = .

Имеем:

если у = 2, то х = 9;

если у = 4, то х = 4.

Других пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению 2х + 5у =
= 28, нет.

Ответ: 4 или 9 монет.

5. № 000.

Решается аналогично предыдущей задаче.

№ 000 (можно предложить сильным учащимся выполнить дополнительно).

Решение:

Пусть п – некоторое натуральное число. Если оно при делении на 5 даёт остаток 1, то справедливо следующее равенство:

п = 5q + 1, где q – частное от деления на 5.

Аналогично можно записать равенство:

п = 6p + 2, где р – частное от деления на 6.

Получим уравнение:

5q + 1 = 6p + 2;

5q – 6p = 1.

Выразим переменную q через переменную р:

5q = 6p + 1;

q = .

Нужно подобрать наименьшую натуральную пару (p; q), удовлетворяющую уравнению.

Если р = 4, то q = = 5. Найдем п:

п = 5q + 1 = 5 ∙  5 + 1 = 26.

Ответ: 26.

IV. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Решением каких уравнений является пара чисел (–2; 3):

а) 2x + y = 1;                        в) x2 + y = 1;

б) x – y = –5;                        г) 3x + y2 = 3?

2. Выразите из уравнения 2x – 3y = 7 переменную х через у и найдите три решения этого уравнения.

Вариант 2

1. Решением каких уравнений является пара чисел (1; –4):

а) 2x + y = –2;                        в) 2x2 + y = –2;

б) x – y = –3;                        г) 4x – y2 = –7?

2. Выразите из уравнения 5x + 2y = 3 переменную у через х и найдите три решения этого уравнения.

V. Итоги урока.

– Какие уравнения называются линейными с двумя переменными?

– Что называется решением уравнения с двумя переменными?

– Какими свойствами обладают уравнения с двумя переменными?

– Как  можно  найти  решение  линейного  уравнения  с  двумя  переменными?

– Сколько  может  иметь  решений  линейное  уравнение  с  двумя  переменными?

Домашнее задание: № 000, № 000, № 000, № 000.

Дополнительно: № 000.

Урок 105
Понятие графика линейного уравнения
с двумя переменными

Цели: ввести понятие графика линейного уравнения с двумя переменными; формировать умение строить такие графики и находить по ним решения уравнений.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Что является графиком функции y = 3x – ? Как называется эта функция и как построить её график?

2. Графикам каких функций принадлежит точка А (3; –2):

а) y = 2x + 1;                                в) y = –x + 2;

б) y = x – 5;                                г) y = 4 – 2x?

II. Объяснение нового материала.

Объяснение проводить согласно пункту 41 учебника в несколько этапов.

1. Ввести понятие графика уравнения с двумя переменными.

2. Выяснить, что представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными.

3. Рассмотреть  случаи,  когда  коэффициенты  при  х  или  у  в  уравнении ax + by = c равны нулю.

4. Сделать выводы и рассмотреть примеры построения графиков линейных уравнений с двумя переменными.

III. Формирование умений и навыков.

1. № 000.

Необходимо, чтобы учащиеся могли ответить на вопрос: как определить, принадлежит ли графику уравнения какая-либо точка с данными координатами? Вызвать к доске одного из учащихся и предложить способ оформления решения подобных задач.

Решение:

3x + 4y = 12.

а) А (4; 1):         3 · 4 + 4 · 1 = 16          16  12 – не принадлежит;

б) В (1; 3):         3 · 1 + 4 · 3 = 15          15  12 – не принадлежит;

в) С (–6; –7,5):         3 · (–6) + 4 · (–7,5) = –48  –48  12 – не принадлежит;

г) D (0; 3):         3 · 0 + 4 · 3 = 12          12 = 12 – принадлежит.

2. № 000.

3. По данному графику линейного уравнения с двумя переменными найдите три какие-либо его решения:

4. № 000 (а, б).

5. В одной системе координат постройте графики уравнений:

а) x = 1;                                в) 1,2у = –2,4;

б) 2х = –8;                                г) y = 3.

IV. Итоги урока.

– Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

– Что является графиком линейного уравнения с двумя переменными?

– Как построить график линейного уравнения с двумя переменными?

– Как определить, принадлежит ли точка с данными координатами графику уравнения с двумя переменными?