Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок (стр. 54 )

Составим разность и упростим её:

(2п + 3)2 – (2п + 1) (2п + 5) = (2п + 3) (2п + 3) – (2п + 1) (2п + 5) =
= 4п2 + 6п + 6п + 9 – 4п2 – 10п – 2п – 5 = 4.

Утверждение доказано.

III. Проверочная работа.

Вариант 1

1. При каком значении х равны значения следующих выражений:

(3х + 5) (4х – 1)  и  (6х – 3) (2х + 7)?

2. Упростите выражение.

а)

б)

Вариант 2

1. При каком значении а равны значения следующих выражений:

(5а + 1) (2а – 3)  и  (10а – 3) (а + 1)?

2. Упростите выражение.

а)

б)

IV. Итоги урока.

– Сформулируйте правило умножения многочлена на многочлен.

– Как перемножить три многочлена?

Домашнее задание: № 000; № 000; № 000.

Урок 77
Изучение способа группировки разложения
многочлена на множители

Цели: познакомить учащихся со способом группировки разложения многочлена на множители; формировать умение применять этот способ.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Вычислите.

а) (–0,1)2 + (–0,2)2;                в) – (0,1 – 0,2)2;                д) ;        

б) (–0,1 – 0,2)2;                 г) ;                        е) .

2. Разложите многочлен на множители.

а) ab – a2b;                в) 6у5 – 9у2;                        д) 3 (a – b) – x (a – b);

б) 2х3 + 4х;                г) n2m3 + n3m;                е) (у + 2)2 – х (у + 2).

II. Объяснение нового материала.

Данная тема зачастую вызывает затруднения у учащихся. Связано это с формальным усвоением способа группировки, с непониманием его сути и того, что этот способ является обратной задачей к умножению многочлена на многочлен.

Поэтому, прежде чем изучать способ группировки, целесообразно будет вынести на доску пример, отражающий пошаговое умножение двучлена на двучлен. А потом на этом же примере рассмотреть обратную задачу.

(b + 3) (а – 2) 1-й шаг.  b (а – 2) + 3(а – 2) 2-й шаг.  (аb – 2b) + (3а – 6) 3-й шаг.  аb – 2b + 3а – 6

аb – 2b + 3а – 6 1-й шаг.  (аb – 2b) + (3а – 6) 2-й шаг.  b (а – 2) + 3(а – 2) 3-й шаг.  (а – 2) (b + 3)

Затем можно рассмотреть пример 2 из учебника.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что из трёх возможных вариантов группировки первого члена два являются верными, а один не даёт результата. Учащиеся могут убедиться в этом на конкретном примере:

1) ху + 4х – 2у – 8 = (ху + 4х) – (2у + 8) = х (у + 4) – 2 (у + 4) =
= (у + 4) (х – 2).

2) ху + 4х – 2у – 8 = (ху – 2у) + (4х – 8) = у (х – 2) + 4 (х – 2) =
= (х – 2) (у + 4).

3) ху + 4х – 2у – 8 = (ху – 8) + (4х – 2у) – не даёт результата.

Пример 3 из школьного учебника лучше рассмотреть на следующем уроке.

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке нужно опросить как можно больше учащихся, чтобы убедиться, что они усвоили способ группировки разложения многочлена на множители.

К доске на одно задание можно вызывать двух учащихся, которые будут группировать члены многочлена по-разному, а затем убеждаться, что результат получен одинаковый.

1. № 000, № 000.

2. № 000 (а, в, д, з).

Решение:

(На первых порах нужно требовать от учащихся подробных записей.)

а) х3 + х2 + х + 1 = (х3 + х2) + (х + 1) = х2 (х + 1) + (х + 1) = (х + 1) (х2 + 1).

в) а4 + 2а3 – а – 2 = (а4 + 2а3) – (а + 2) = а3 (а + 2) – (а + 2) =
= (а + 2) (а3 – 1).

д) а2 – ab – 8а + 8b = (а2 – ab) – (8а – 8b) = а (a – b) – 8 (а – b) =
= (a – b) (а – 8).

з) kn – mn – n2 + mk = (kn + mk) – (mn + n2) = k (n + m) – n (m + n) =
= (m + n) (k – n).

IV. Итоги урока.

– Как умножить многочлен на многочлен?

– Что является обратной задачей к умножению многочленов?

– Опишите алгоритм способа группировки разложения многочлена на множители.

– Сколько существует вариантов группировки первого члена многочлена, содержащего 4 слагаемых? Сколько из этих вариантов дадут возможность разложить многочлен на множители?

Домашнее задание: № 000; № 000 (б, г, е); № 000.

Урок 78
Применение способа группировки
разложения многочлена на множители

Цели: продолжить формирование умения применять способ группировки при разложении многочлена на множители; проверить уровень усвоения материала.

Ход урока

I. Проверочная работа.

Вариант 1

1. Вынесите за скобки общий множитель.

а) a (b + c) + p (b + c);                в) 3 (x – 2) + y (2 – x)2.

б) 7 (x – c) + (c – x) xc;

2. Разложите многочлен на множители (проверьте полученный результат умножением).

а) ax + bx + ac + bc;                        в) 2x2 – 3x + 4ax – 6a.

б) 6x + 7y + 42 + xy;

Вариант 2

1. Вынесите за скобки общий множитель.

а) a (x + c) – b (x + c);                в) 2 (x – 7) – p (7 – x)2.

б) 9 (a – b) – (b – a) ab;

2. Разложите многочлен на множители (проверьте полученный результат умножением).

а) ax – ay + bx – by;                        в) ay – 12bx + 3ax – 4by.

б) 2x + 7y + 14 + xy;

II. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу войдут задания на применение способа группировки при доказательстве тождеств и нахождении значений выражений. А во 2-ю группу войдут сложные задания, в которых нужно разложить на множители многочлены способом группировки.

1-я группа

1. № 000.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что непосредственная подстановка данных значений переменных приведет к громоздким вычислениям.

Решение:

а) p2q2 + pq – q3 – p3 = (p2q2 – q3) + (pq – p3) = q2 (p2 – q) + p (q – p2) =
= q2 (p2 – q) – p (p2 – q) = (p2 – q) (q2 – p).

При p = 0,5 и q = –0,5:

(p2 – q) (q2 – p) = (0,25 + 0,5) (0,25 – 0,5) = 0,75 · (–0,25) =
=.

б) 3х3 – 2у3 – 6х2у2 + ху = (3х3 – 6х2у2) – (2у3 – ху) = 3х2 (х – 2у2) –
– у (2у2 – х) = 3х2 (х – 2у2) + у (х – 2у2) = (х – 2у2) (3х2 + у).

При x = и у = :

(х – 2у2) (3х2 + у) =

2. № 000.

Заметим, что, исходя из логики доказательства тождеств, можно преобразовать левую часть равенства в правую (для этого многочлен нужно разложить на множители), а можно преобразовать правую часть в левую (для этого нужно перемножить двучлены).

2-я группа

1. № 000.

До этого учащиеся использовали способ группировки для разложения на множители многочленов, состоящих из четырёх членов. Нужно обратить внимание учащихся, что это самый распространенный случай применения данного способа. Но иногда способ группировки может быть использован при разложении на множители многочленов с другим количеством членов.

Решение:

а) (bd – ad – cd) =

б) (bx2 + by2 – b) =

в) (cn2 – cp + cp2) =

г) (ax – ab + a) =

2. № 000 (а, в).

Прежде  чем  решать  этот  номер,  нужно  рассмотреть  пример  3  из учебника.

Решение:

а) x (x + 1) +
+ 5 (x + 1) = (x + 1) (x + 5).