Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок (стр. 48 )

Вариант 1

1. Составьте сумму и разность многочленов и приведите их к стандартному виду:

а) 2y2 + 8y – 11  и  3y2 – 6y + 3;

б) 2p2 + 3pq + 8q2  и  6p2 – pq – 8q2.

2. Упростите выражение.

а) (3x + 10y) – (6x + 3y) + (6y – 8x);

б) (8c2 + 3c) + (–7c2 – 11c + 3) – (–3c2 – 4).

Вариант 2

1. Составьте сумму и разность многочленов и приведите их к стандартному виду.

а) 5y2 – 3y – 1  и  8y2 + 2y – 11;

б) 8x2 + 2px – 3p2  и  2x2 + 3px – 3p2.

2. Упростите выражение.

а) (3a + 5b) – (9a – 7b) + (–5a + 11b);

б) (3x2 + 2x) + (2x2 – 3x – 4) – (–x2 + 19).

II. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на две группы. В 1-ю группу войдут упражнения на закрепление умения складывать и вычитать многочлены. А во 2-ю группу – упражнения на представление многочлена в виде суммы или разности многочленов.

1-я группа

1. № 000; № 000.

2. № 000.

Решение:

Выполним вычитание многочленов.

= 0,6х2 – 0,4ху – 1,5у +
+ 1 – у2 + 0,4ху – 0,6х2 = 1 – 1,5у – у2.

В полученный многочлен не входит переменная х, значит, исходное выражение не зависит от этой переменной.

3. № 000.

Решение:

а) Пусть п, п + 1 и п + 2 – три последовательных натуральных числа. Найдем их сумму:

п + п + 1 + п + 2 = 3п + 3.

Каждое  слагаемое  этой  суммы  кратно  трём,  значит,  и  вся  сумма кратна 3.

б) Пусть п, п + 1, п + 2, п + 3 – четыре последовательных натуральных числа. Найдем их сумму:

п + п + 1 + п + 2 + п + 3 = 4п + 6.

Первое слагаемое этой суммы кратно четырём, а второе – нет, значит, вся сумма не кратна четырем.

2-я группа

Представление многочлена в виде суммы или разности многочленов является обратной задачей к сложению и вычитанию многочленов. Поэтому начинать выполнение соответствующих упражнений можно, только убедившись, что учащиеся хорошо овладели умением находить сумму и разность многочленов.

Начать рассмотрение данного вопроса лучше с задачи.

Задача. После сложения одночлена с двучленом был получен многочлен 2а – 3b + 4с. Какой одночлен с каким многочленом был сложен?

Решение:

Важно, чтобы учащиеся поняли, что существует несколько вариантов, каждый из которых нужно рассмотреть:

2а + (–3b + 4с),        – 3b + (2а + 4с),                4с + (2а – 3b).

После  этого  можно  переформулировать  задачу,  сказав,  что  много-член 2а – 3b + 4с был получен в результате вычитания многочлена из одночлена. Здесь также нужно рассмотреть все варианты:

2а – (3b – 4с),                – 3b – (–2а – 4с),                4с – (–2а + 3b).

В результате делается вывод о том, как представлять многочлен в виде суммы или разности многочленов, а затем приступить к выполнению соответствующих заданий.

1. Представьте выражение в виде суммы каких-нибудь двучленов:

а) 2а3 – 5а2 – а + 8;

б) –3у5 + 2у3 + 7у – 5.

2. Представьте выражение в виде разности одночлена и трех-члена:

а) у3 + 3у2 – 4у – 7;

б) 2р4 + р2 + 7р – 8.

3. Представьте многочлен в виде суммы двух многочленов, один из которых содержит переменную b, а другой нет:

а) bx2 – x + 1 – b;

б) a2 – b2 – 2ab – 1.

Решение:

а) bx2 – x + 1 – b = (bx2 – b) + (1 – х);

б) a2 – b2 – 2ab – 1 = (а2 – 1) + (–b2 – 2ab).

4. Представьте многочлен в виде разности двух многочленов с положительными коэффициентами:

а) рс + р – с – 1;                        в) 3z – 5y – 2;

б) 8х – 3а – 1 + 24ах;                 г) –3а – 5b + 8.

Решение:

а) рс + р – с – 1 = (рс + р) – (с + 1);

б) 8х – 3а – 1 + 24ах = (8х + 24ах) – (3а + 1);

в) 3z – 5y – 2 = 3z – (5y + 2);

г) –3а – 5b + 8 = 8 – (3а + 5b).

III. Итоги урока.

– Что называется многочленом? Степенью многочлена?

– Как выполнить сложение или вычитание многочленов?

– Как представить многочлен в виде суммы или разности двух многочленов?

– В многочлене 2а2 – а + 1 заключите в скобки два последних члена, поставив перед скобками сначала знак «+», а потом знак «–».

Домашнее задание: № 000; № 000; № 000; № 000.

Урок 66
Правило умножения
одночлена на многочлен

Цели: изучить правило умножения одночлена на многочлен; формировать умение применять это правило при преобразовании выражений.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Раскройте скобки.

а) 3 (2х – 5);                в) (4 + 2y);                д) · (–3);

б) (5а – 1) 4;                г) –5 (3р – 8);                е) 0,7 (3а – 10).

2. Упростите выражение.

а) а5 · а7;                        в) аа2а3;                        д) (п3)2 п4;

б) х8 : х3;                        г) (х2)5;                        е) у2 у3(у4)2.

II. Объяснение нового материала.

В процессе выполнения устной работы у учащихся была возможность актуализировать необходимые знания. Поэтому при объяснении этого материала достаточно привести несколько примеров умножения одночлена на многочлен и сформулировать соответствующее правило.

Вопрос о решении уравнений с применением умножения одночлена на многочлен целесообразно рассмотреть на следующем уроке. Поэтому примеры 3 и 4 из учебника приводить не нужно.

III. Формирование умений и навыков.

На этом уроке основное внимание следует уделить формированию у учащихся умения непосредственно применять правило умножения одночлена на многочлен. Необходимо следить за грамотностью их записей, за обоснованием каждого шага, поддерживать внимание учащихся.

1. № 000; № 000 (а, в, д).

2. № 000.

Решение:

(На первых порах желательно, чтобы учащиеся (особенно слабые) вели подробные записи, это позволит избежать ошибок в преобразованиях.)

в)

г)

3. № 000 (а, в).

Решение:

(Здесь важно ещё раз напомнить учащимся о том, что перед нахождением значения любого выражения его сначала упрощают.)

в) 4у – 2 (10у – 1) + (8у – 24) = 4у – 20у + 2 + 8у – 24 = –8у – 22

при у = –0,1:  –8у – 22 = –8 · (–0,1) – 22 = 0,8 – 22 = –21,2.

4. № 000.

IV. Итоги урока.

– Как выполнить умножение одночлена на одночлен?

– Перемножьте одночлены –2х2 и 5х4.

– Сформулируйте правило умножения одночлена на многочлен.

– Умножьте одночлен 4а3 на многочлен 2а – 3.

Домашнее задание: № 000;  618 (б, г); № 000.

Урок 67
Решение уравнений

Цели: продолжить формирование умения умножать одночлен на многочлен; формировать умение выполнять данное действие при решении уравнений.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Выполните умножение одночленов.

а) 2х5 · 3х2;                в) (–3b) · (–7b);                д) (х2)3 · 5х;                

б) –4a3 · a;                г) y7 · (–3y);                е) .

2. Упростите выражение.

а) 2x (x2 – 4x);                в) 4y;

б) –а2 (а + 8);                г) p2(2p – 4).

II. Формирование умений и навыков.

Все задания можно разбить на три группы: в 1-ю и 2-ю группы войдут уравнения с целыми и дробными коэффициентами соответственно, а в 3-ю группу – задания на преобразование выражений.

1-я группа

1. № 000 (а, в, д, ж).

2. № 000 (а, в).

Решение:

а) 3х (2х – 1) – 6х (7 + х) = 90;

  6х2 – 3х – 42х – 6х2 = 90;

  –45х = 90;

  х =;

  х = –2.

Ответ: –2.

в) 5x (12x – 7) – 4x (15x – 11) = 30 + 29x;

  60x2 – 35x – 60x2 + 44x = 30 + 29x;