Введение в физику белка (стр. 13 )

  Маленькое философское отступление. Зачем вообще нужны такие прикидочные оценки? Казалось бы, имея мощный компьютер, можно ввести в него "все как есть": молекулы жидкой воды, координаты атомов белка, в том числе координаты зарядов, задать температуру, т. е. энергию теплового движения,  —  и "все посчитать точно". На самом деле эта картина несколько утопична. Расчет  —  я имею в виду детальный расчет (он ведется при помощи так называемой "молекулярной динамики")  —  займет дни (и, кстати, совсем точным он не будет, вспомните хотя бы о "некруглых", из-за p-орбит, атомах): ведь вам надо будет рассмотреть и тепловые движения, и поляризацию десятков тысяч атомов. А вас, скорее всего, интересует простая, но быстрая прикидка: можно ли ввести в такое-то место белка заряд, или белок при этом взорвется? И моя цель  —  научить вас делать такие прикидки.

  Прежде всего оценим, как меняется энергия заряда при переносе его из воды (e»80) в белок (e»3). Корпускулярностью, т. е. атомным строением и белка, и воды мы пока пренебрежем, точнее  —  отложим этот вопрос.
  Согласно классической электростатике, шарик с зарядом q и радиусом R в среде с диэлектрической проницаемостью e имеет энергию
 

U = q12/2eR .

(6.3)

  Эта формула прямо следует из формулы (6.2): когда мы заряжаем шарик (от заряда 0 до заряда q1 ), перенося на его поверхность малые заряды dq, каждый зарядик dq повышает энергию шарика на dU = qdq/eR, согласно (6.2), а интеграл qdq от 0 до q1 равен q12/2.
  Радиус заряженного атома  —  около 1.5 ; значит, его (свободная) энергия близка к 1.5 ккал/моль при e»80 (в воде), и к 40 ккал/моль при e»3 (в белке). Эта большая разница объясняет, почему внутри белка  —  в отличие от его поверхности  —  практически нет заряженных групп (нетрудно прикинуть, что даже погружение в белок тесно сближенной пары противоположных по знаку зарядов повышает его свободную энергию).

  Теперь научимся оценивать взаимодействие зарядов с учетом поверхности раздела между белком (e»3) и водой (e»80).
  Рассмотрим следующую простую учебную задачу. Пусть  —  для простоты решения - вода (среда с e1=80) занимает одну половину пространства, "белок" (среда с e2=3)  —  другую, а поверхность раздела между ними  —  плоская. Пусть в воде, в точке  над плоской поверхностью "белка", находится заряд q (Рис.6-1).
 
 

Рис.6-1.

  Требуется найти электрическое поле j, создаваемое этим зарядом в произвольной точке "2".

  Если бы белка не было, или если бы он был очень далеко, это поле рассчитывалось бы по классической формуле (6.1) с e = 80 (диэлектрическая постоянная воды) и r = r12 (расстояние между точками 1 и 2).
  Что же меняет наличие вблизи от заряда белка  —  среды с другой диэлектрической проницаемостью?
  Для подсказки, вспомним очень похожую задачу, которую вы, должно быть, решали в курсе общей физики. В ней  —  все то же самое, только теперь "среда 2"  —  это металл, проводник тока, т. е. его e2 равно бесконечности (Рис.6-2). Решение этой задачи выглядит так.

  Поля внутри металла нет, так как иначе свободные заряды в нем двигались бы  —  пока поле не исчезло бы.
  Результирующее поле над поверхностью металла (в точке "2") создается (Рис.6-2) зарядом q и его как бы "отражением" в металле. Это отражение "0" суммирует действие заряда, наведенного в металле сместившимися  —  под действием заряда "1"  —  электронами. Эти электроны распределяются по поверхности металла так, что создают "эффект отражения". Это "отражение" имеет заряд -q и как бы находится в точке 0, лежащей на той же глубине под поверхностью металла, как точка 1  —  над его поверхностью (т. е. r02  —  расстояние от отраженного заряда до точки, поле в которой нужно рассчитать).
 
 

Рис.6-2.

  Строго доказывать это решение (точнее, его вторую, неочевидную часть, относящуюся к "полю над металлом") я не буду, но коротко изложу основную идею доказательства.
  Так как внутри металла, если по нему уже не течет ток, электрического поля нет, то силовые линии этого поля (напомню, что они показывают направление силы, действующей на заряд, см. стрелки на Рис.6-3) должны входить в металл строго перпендикулярно (иначе у них была бы составляющая, параллельная поверхности, и она бы гнала ток по металлу). Но и силовые линии поля, созданного (в отсутствие всякого металла) двумя противоположными по знаку, но равными по величине зарядами,  —  они тоже перпендикулярны плоскости, проходящей точно посередине между этими зарядами. А раз силовые линии поля выглядят одинаково  —  то и потенциалы ведут себя одинаково.
 

Рис.6-3.

  Решение "Задачи о поле заряда над металлом" подсказывает, что такие задачи удобно решать при помощи "отраженных" зарядов и анализа хода силовых линий поля. И еще  —  что эти линии стремятся уйти в среду с более высокой диэлектрической проницаемостью.

  Вернемся теперь к нашей задаче о поле заряда, находящегося у границы двух сред. В этом случае тоже основную роль играет поляризация среды с более высокой диэлектрической проницаемостью  —  воды (Рис.6-4, вверху). Небольшими поляризационными зарядами белка (на границе раздела белок/вода) можно пренебречь по сравнению с большими поляризационными зарядами воды. Поляризация среды приводит к тому, что силовые линии стремятся остаться в воде (Рис.6-4, внизу слева)  —  ведь ее диэлектрическая проницаемость выше, чем белка. Такого же вида поле (если рассматривать только его лежащую над поверхностью раздела часть) создается двумя одноименными зарядами (Рис.6-4, справа внизу). Это подсказывает, какой нам нужен отраженный заряд и где его помещать: помещать его надо под поверхность раздела  — в то место, где мы видим отражение,  —  а знак его должен быть тот же, что у нашего (находящегося над белком) заряда "1".


 

  Рис.6-4. (а) Диполи воды поворачиваются своим "минусом" к нашему заряду  , а "плюсом"  —  в противоположную сторону. (б) В результате в воде возникают поляризационные заряды. Они возникают на ее границах, так как внутри толщи воды "плюсы" и "минусы" ее диполей компенсируют друг друга. Те поляризационные заряды, что стоят непосредственно у  , уменьшают поле заряда  , что приводит к появлению высокой диэлектирической проницаемости воды (этот эффект не зависит от соседства белка). Те, что стоят у поверхности раздела сред, создают на этой поверхности поляризационный заряд: обратите внимание, что он  —  того же знака, что и наш заряд  . (в) Результирующая картина силовых линий электростатического поля у поверхности среды с низкой (по сравнению с той средой, где находится наш заряд  ) диэлектрической проницаемостью. (г) Эквивалентная (с точки зрения хода силовых линий над поверхностью раздела сред) картина, вызванная отраженным зарядом.
 
 

  Я не буду утомлять вас подробным решением всей задачи, а сразу напишу ответ. Итак.
  Поле над белком создается и зарядом q, и отраженным зарядом q'= q (e1- e2)/ (e1+ e2) » +q, лежащим на той же глубине под поверхностью, как q — над поверхностью белка (Рис.6-5).
 
 

Рис.6-5.

  В результате, эффективная диэлектрическая проницаемость eэфф (это  —  та проницаемость, которую надо подставлять в формулу j = q/eэффr12),  —  эта eэфф в зоне над белком близка к e1, т. е. к 80 только на самых малых расстояниях от заряда  (когда r12 много меньше, чем расстояние от  до поверхности белка; при этом r12 << r02»r01).
  Но на больших расстояниях от  , —  здесь eэфф всюду близка к 40. В самом деле, когда r12>>r10, то r02 » r12, и так как q'» q при e1>>e2 , то j » 2q/[er12]= q/[(e1/2)r12].
  При этом eэфф » 40 относится и к полю над (а следовательно  —  и под) сaмой поверхностью белка (где всегда r02 » r12, см. Рис.6-5).
  Итак, поле внутри белка создается зарядом, стоящим в точке "1" (Рис.6-6), и для этого поля  —  я опять позволю себе опустить выкладки — эффективная диэлектрическая проницаемость во всем пространстве под поверхностью равна eэфф =(e1+e2)/2, т. е. близка к 40.