Анализ финансово-экономической деятельности пред­приятия (стр. 11 )

Таблица 2.7. Данные для расчета коэффициента корреляции и параметров уравнения прямой

№ п/п	x	y								x2	xy	y2
1	2	12	-10	-6	100	36	- 1,395	- 1,261	1,759	4	24	144
2	4	11	-8	-7	64	49	-1,116	- 1,470	1,641	16	44	121
3	6	14	-6	-2	36	16	- 0,837	- 0,840	0,703	36	84	196
4	8	16	-4	-2	16	4	- 0,558	- 0,420	0,234	64	128	256
5	10	17	-2	-1	4	1	- 0,279	-0,210	0,059	100	170	289
6	12	19	0	1	0	1	0	+0,210	0	144	228	361
7	15	20	3	2	9	4	0,418	+0,420	0,176	225	300	400
8	17	21	5	3	25	9	0,697	+0,704	0,491	289	357	441
9	20	23	8	5	64	25	1,116	+1,050	1,308	400	460	529
10	26	27	14	9	196	81	1,953	+1,891	3,693	676	702	729
	120	180			514	226	0	0	9,836	1954	2497	3466

Расчет коэффициентов корреляции проводится по формуле (2.3):

Зависимость между показателями весьма высокая.

Коэффициент корреляции рассчитываем по формуле (2.4):

Рассчитанный коэффициент корреляции показывает, что качество товара - основной ценообразующий фактор.

Коэффициент детерминации d = r2, d = 0,982 = 0,96 означает, что цена товара на 96,0% зависит от качества, влияние прочих факторов составляет 4,0%.

Положительное значение коэффициента корреляции свидетельствует о наличии прямой связи между показа­телями.

Определим зависимость между ценой и качеством то­вара на основе уравнение прямой:

y = а + bx.

Составим систему нормальных уравнений по данным табл. 2.7:

Умножив все члены первого уравнения на 12 и вычтя из второго уравнения первое, получим: 514b = 337; b = . Подставив полученное значение в первое или второе уравнение, получим а = 10,13.

Уравнение прямой примет вид: у = 10,13 + 0,66х.

Коэффициент регрессии b = 0,66 означает, что при изме­нении качества на 1 балл цена товара возрастает на 0,66 руб.

Этот условный пример показывает возможности метода в изучении зависимости между стохастическими показателями.

Математический аппарат регрессионного и корреляционного анализа оказался очень удобным для определения взаимозави­симостей между различными величинами. Но наряду с просто­той у этих видов анализа имеется существенный недостаток - исследуется только линейная зависимость между результирую­щим параметром и независимым фактором.

На практике значительно чаще встречаются многомерные за­висимости, т. е. такие, в которых результирующий параметр за­висит от многих факторов, и зависимости нелинейные.

Определение нелинейной корреляционной зависимости. Одним из способов нахождения зависимости является метод замены переменной. Этот метод довольно часто используется при реше­нии различных математических задач. Он заключается в том, что независимый фактор заменяется некоторой функцией этого фактора, которая переводит нелинейную зависимость в разряд линейных.

Например, рассмотрим нелинейную зависимость вида у = х2. Это не что иное, как парабола с вершиной в начале коорди­нат. Зависимость явно нелинейная. Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на график этой зависимости (рис.2.3).

Рис. 2.3. График зависимости у = х2

Сделаем замену переменной z = х2. После подстановки в исходное уравнение получим зависимость вида у = z, которая уже является линейной. Для нее можно использовать весь ма­тематический аппарат регрессионного и корреляционного анализа, т. е. можно находить регрессионное уравнение, ко­эффициенты парной корреляции, ошибки и т. д.

Некоторые виды подстановок приведены в табл. 2.8.

Таблица 2.8. Различные виды подстановок, с помощью которых осуществляется переход от нелинейных зависимостей к линейным

№	Вид нелинейной зависимости	Подстановка
1	Y = 1/(a + b · X)	Y = 1 / Y
2	Y = a + b / X	X = 1 / X
3	Y = X / (a + b · X)	Y = X / Y
4	Y = 1 / (a + b · exp(-X))	X = exp(-X) Y = 1 / Y
5	Y = a · exp(b · X)	Y = log(Y)
6	Y =	Y = Y 2
7	Y = exp[a + b · exp(X)]	X = exp(X) Y = log(Y)
8	Y = a + b · · log(X)	X = log(X)
9	Y = a · X / (b + X)	X = 1 / X Y = 1 /Y

Для нахождения лучшей подстановки можно использовать визуальный метод, когда «на глаз» определяется вид нелинейной зависимости, связывающей результирующий параметр и незави­симый фактор, а можно выбор наилучшей замены осуществлять, используя коэффициент корреляции. Та подстановка, у которой коэффициент корреляции является максимальным, и является наилучшей.

Метод множественной корреляции. Этот метод применяется в случаях когда результирующий показатель зависит от несколь­ких взаимно независимых факторов. При этом применяется уравнение множественной регрессии:

(2.5)

При n = 2 уравнение (2.5) превращается в обычное уравнение парной регрессии, при n = 3 это уравнение описывает плоскость, а при больших размерностях - гиперплоскость. Иногда эту ги­перплоскость называют поверхностью отклика. Для определения коэффициентов регрессионного уравнения используется исход­ный статистический материал (табл.2.9).

Таблица 2.9. Исходный статистический материал

Номер наблюдения	Фактор	Результирующий показатель
x1	x2	…	xn	y
1	x11	x12	…	x1n	y1
2	x21	x22	…	x2n	y2
…	…	…	…	…	…
m	xm1	xm2	…	xmn	yn

Необходимым условием для поиска коэффициентов является требование того, чтобы количество наблюдений было больше числа независимых факторов +1. Для определения коэффициен­тов регрессионного уравнения (2.5) удобнее всего использовать методы матричного исчисления. Для этого сделаем одно допу­щение, которое не меняет условия задачи. Будем считать, что в уравнении (2.5) свободный член a0 всегда умножается на неко­торый фиктивный фактор, имеющий постоянное значение, рав­ное единице, т. е. имеем: