Основы теории ядерных реакторов (стр. 26 )

Иначе говоря, величина плотности замедления q(E) является функци­ей координат точек активной зоны, то есть q = f(E,r), имея в виду под r(x, y,z) краткое обозначение радиус-вектора точки активной зоны с ука­занными координатами.

- Во-вторых, плотность замедления должна зависеть от замедляющих свойств среды активной зоны, а, значит, - от какой-то из характеристик замедляющих свойств этой среды. Возраст нейтронов с энергией Е оказал­ся наиболее подходящей из всех известных нам характеристик замедляющих свойств: в среде конкретного состава возраст t однозначно связан с энергией нейтронов Е, и каждому определённому значению энергии Е замедляющихся нейтронов в среде соответствует своё определенное значе­ние возраста t(E) = ln(Eo/E)/3xSsStr.

Вот почему зависимость плотности замедления от координат, замедля­ющих свойств среды и энергии нейтронов можно записать более ёмко: q(r, E) = f (r, t).

Ради лучшего понимания сущности величины плотности замедления по­лезно задуматься о двух "крайних" частностях этой величины.

Первая: плотность замедления в начале процесса замедления, то есть при Е = Ео = 2 МэВ, при средней энергии, с которой рождаются нейтроны в реакторе, и с которой они начинают замедляться. Если обозначить величину плотности замедления при Ео через qf, то эта величина в реакторе с полным основанием может быть названа скоростью генерации нейт­ронов деления, так как ясно: сколько нейтронов деления рождается ежесекундно в единичном объёме активной зоны - столько же их без задержки начинает процесс замедления в этом объёме, немедленно пересекая уровень энергии Ео.

Итак, qf = q(Eo) - это скорость генерации нейтронов деления.

Вторая частность: плотность замедления в конце процесса за­медления нейтронов в активной зоне, т. е. при энергии Е = Ес. Эта величина может быть названа скоростью генерации тепловых нейтронов: сколько нейтронов пересекают ежесекундно в единичной объёме активной зоны уровень энергии Ес, - столько же их ежесекундно в этом единичном объёме становятся тепловыми нейтронами.

Итак, qт = q(Ec) - это скорость генерации тепловых нейтронов.

В общем же случае, в интервале энергий замедления Ес < E < Eo ве­личина плотности замедления q = q(r,t), разумеется, отлична от qf и от qт.

5.4.2. Уравнение возраста Ферми. При рассмотрении нейтронного цик­ла отмечалось, что подавляющее большинство веществ очень слабо погло­щают эпитепловые нейтроны, и исключение из правила составляют резонансные захватчики замедляющихся нейтронов, среди которых выделяется 238U - обязательный компонент топлива активных зон большинства тепловых ре­акторов. Поэтому особенностью процесса реального замедления нейтронов в активных зонах сравнительно с замедлением в идеальных, не поглощающих замедляющиеся нейтроны, средах является непрерывное уменьшение количес­тва замедляющихся нейтронов за счёт их резонансного захвата в процессе замедления.

Поэтому плотность замедления нейтронов любой энергии Е диапазона замедления в реальной активной зоне обязательно должна быть меньше, чем плотность замедления в той же активной зоне, лишённой резонансных захватчиков.

Это в большей степени существенно для гомогенного реактора, в ко­тором все компоненты активной зоны (включая и резонансных захватчиков) равномерно распределены в активной зоне. Гетерогенного реактора это ка­сается несколько меньше, так как подавляющее большинство нейтронов прохо­дят процесс замедления в замедлителе - среде, почти не поглощаю­щей эпитепловые нейтроны и расположенной отдельно от топливной компо­зиции, в объёме которой содержится резонансный захватчик.

Относительно слабое поглощение эпитепловых нейтронов большинством материалов активной зоны в теории тепловых реакторов породило так на­зываемое одногрупповое возрастное приближение, основная суть которого состоит в следующем:

- поглощение эпитепловых нейтронов считается не влияющим на про­цесс их замедления, то есть замедление в реальной активной зоне подчи­нено тем же закономерностям, что и в идеальной непоглощающей среде;

- снижение величины реальной плотности замедления в конце процес­са замедления (qт) по сравнению с величиной плотности замедления в той же, но не поглощающей эпитепловые нейтроны среде (qт*) можно учесть с помощью известного нам коэффициента j - вероятности избежания резонан­сного захвата в активной зоне реактора:

qт = qт*j (5.4.1)

Именно для непоглощающих эпитепловые нейтроны сред справедливо уравнение возраста Ферми:

(5.4.2)

Левая часть уравнения - производная функции плотности замедления по величине возраста нейтронов, а так как возраст нейтронов в конкрет­ной среде однозначно связан с уровнем энергии замедляющихся нейтронов, то эта величина несет в себе неявный смысл скорости изменения плотности замедления по энергиям нейтронов.

Правая часть - оператор Лапласа от функции плотности за­медления, то есть сумма вторых частных производных плотности замедле­ния по координатам активной зоны.

В целом решение уравнения возраста для активной зоны конкретных геометрии и состава даёт функцию пространственного (то есть по коорди­натам) и энергетического (то есть по возрастам, а значит - и по энер­гиям) распределения замедляющихся нейтронов в активной зоне в зависимости от замедляющих свойств среды активной зоны (которые, как мы ви­дели ранее, скрыты в величине возраста). Возраст нейтронов t фигуриру­ет в уравнении Ферми в качестве сложной переменной.

5.4.3. Решение уравнения возраста. Уравнение возраста является дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных, по­этому для получения конкретного его решения для условий активной зоны реактора необходимо указать пару начальных условий. В качестве послед­них можно использовать две упомянутых выше частности:

- при Е = Ео t(Eo) = 0 и q*(r, 0) = qf*;

- при Е = Ес t(Ec) = tт и q*(r,tт) = qт*.

Предположим, что решение уравнения возраста найдено в виде произ­ведения двух функций:

q*(r,t) = T(t) R(r), (5.4.3)

одна из которых - Т(t) - является функцией только возраста t, а дру­гая R(r) - функцией только координат r.

Если (5.4.3) - решение уравнения (5.4.2), то, будучи подставлен­ным в (5.4.2), оно должно обращать последнее в тождество. Выполним эту подстановку, для чего найдём вначале выражения для dq*/dt и Ñ 2q*:

dq*/dt = R dT/dt, (5.4.4)

так как функция R переменной t не содержит, а это значит, что при частном дифференцировании к ней можно относиться как к постоянной ве­личине. Аналогично рассуждая,

Ñ 2q* = T Ñ 2R, (5.4.5)

так как функция Т не содержит координат r.

Итак, подстановка (5.4.4) и (5.4.5) в (5.4.2) даёт тождество:

R dT/dt º T Ñ 2R, или, что то же:

. (5.4.6)

Задумавшись о том, когда может быть так, что две разные функции различных аргументов всегда тождественно равны друг другу при различ­ных значениях этих аргументов, мы должны однозначно ответить так, как ответил Э. Ферми: это может быть только в том случае, если обе эти функции - есть постоянная величина.

Более того, связывая функцию (1/Т)dT/dt с физическим смыслом за­висимости плотности замедления q* от возраста t, можно сказать, что эта постоянная величина (обозначим её - B2) должна иметь обязательно отрицательный знак, так как функция плотности замедления q*(t) не может быть возрастающей функцией с увеличением возраста нейтронов (иначе это противоречило бы физическому смыслу: число нейтронов в процессе их замедления может либо оставаться постоянным (в непоглощающей среде), либо убывать (за счёт поглощения и утечки), но никак не возрастать).

Поскольку B2 - присущая конкретному реактору величина, её принято называть параметром реактора.

С учётом принятого обозначения упомянутой постоянной величины тож­дество (5.4.6) можно переписать в виде двух отдельных равенств:

(5.4.7)

(5.4.8)

Уравнение (5.4.7) представляет собой энергетическую часть уравнения возраста, в то время как уравнение (5.4.8) - пространствен­ная его часть.

Общее решение дифференциального уравнения (5.4.7) имеет вид:

T = To exp(-B2t),

где То - некоторое значение функции Т при t = 0.

Cледовательно, плотность замедления q* в соответствии с (5.4.3) будет равна:

q* = RT = RTo exp(-B2t) (5.4.9)

Используя для (5.4.9) первое граничное условие, имеем: qf* = RTo (5.4.10)

Но величину qf* - скорости генерации нейтронов деления - можно получить и из общих рассуждений, исходя из среднего значения плотности потока тепловых нейтронов в активной зоне реактора.

Если Sa - среднее по объёму активной зоны макросечение поглощения тепловых нейтронов, а Ф - средняя по её объёму плотность по­тока тепловых нейтронов, то:

- SaФ - это средняя по объёму активной зоны скорость поглощения тепловых нейтронов в ней, а

- SaФq - это средняя по объёму активной зоны скорость поглощения тепловых нейтронов делящимися под действием тепловых нейтронов ядрами, а