Основы теории ядерных реакторов (стр. 64 )

12.1.2. Дифференциальные уравнения скоростей изменения эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов шести групп. Логический вид этих шести уравнений одинаков:

dCi/dt = (скорость генерации предшественников i-ой группы) - (скорость их b-распада). (12.8)

Первое слагаемое правой части (12.8) получается из следующих рассуждений. Если n(t) - средняя по объёму активной зоны плотность тепловых нейтронов в некоторый произвольный момент времени t, то через промежуток времени, равный среднему времени жизни поколения мгновенных нейтронов l плотность нейтронов станет равной kэn(t) (что следует из определения эффективного коэффициента размножения kэ). Эти тепловые нейтроны очередного поколения получены в результате замедления быстрых нейтронов, исходное число которых в единичном объёме активной зоны было равно kэ n /pз j, то есть рождались эти нейтроны со средней скоростью kэn / pзj l в каждом см3 активной зоны за 1 с. Но среди всех этих быстрых нейтронов bi-ая часть рождались как запаздывающие нейтроны i-ой группы, а поскольку каждый запаздывающий нейтрон i-ой группы испускался одним излучателем, а каждый излучатель получался в результате b-распада одного предшественника i-ой группы, то из этого следует, что скорость генерации предшественников i-ой группы составляет kэn bэi / pзj l ядер/см3 с. Такова величина первого слагаемого правой части логического уравнения (12.8).

Со вторым слагаемым этого уравнения дело обстоит значительно проще: в соответствии с известным законом радиоактивного распада скорость b-распада предшественников i-ой группы определяется только наличной в данный момент времени концентрацией их Сi, то есть равна liCi.

Поэтому искомое дифференциальное уравнение для скорости изменения действительной концентрации предшественников i-ой группы будет:

,

а если, руководствуясь формулой (12.6), перейти к эффективным концентрациям предшественников любой группы, и полагая, что, как и в предыдущем выводе, kэ » 1, то:

(12.9)

Таков общий вид шести дифференциальных уравнений для скоростей изменения эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов 6 групп.

Таким образом, полная замкнутая система семи дифференциальных уравнений кинетики реактора с учётом запаздывающих нейтронов имеет вид:

(12.10)

i = 1, 2, ... , 6. (12.11)

12.1.3. Решение системы дифференциальных уравнений кинетики. Одинаковый вид всех дифференциальных уравнений кинетики подсказывает, что их решения можно отыскать в форме выражений:

(12.12) и

(12.13)

где no и cio - соответственно величины плотности нейтронов и эффективной концентрации предшественников запаздывающих нейтронов i-ой группы в момент времени t = 0, когда реактор перед сообщением ему реактивности был ещё критичен. Имеющий размерность времени параметр Т назовём периодом реактора (имея в виду почерпнутый из математики термин, где эта величина также называется периодом экспоненциальной функции).

Но, коль скоро эти выражения являются решениями системы уравнений кинетики, то подстановка их самих и их производных:

(12.14)

(12.15)

в исходную систему уравнений должна обратить эти последние в тождества.

В этих выражениях параметр Т имеет физический смысл периода соответствующих экспоненциальных процессов.

Примечание. Впредь ради краткости записи функции n(t) и ci(t) будем обозначать просто n и ci.

Подставим вначале (12.15) только в левую часть уравнения (12.11):

, откуда (12.16)

Далее выражения (12.16) и (12.14) подставляются в уравнение (12.10):

Умножив обе части полученного равенства почленно на (l / n), получаем:

(12.17)

Если учесть, что

то, объединив две суммы в правой части (12.17) в одну и приведя выражение под знаком суммы к общему знаменателю, несложно получить:

(12.18)

Уравнение (12.18) по отношению к уравнению (12.10) является характеристическим и называется уравнением обратных часов (УОЧ).

Замечание. Получена, строго говоря, приближённая форма уравнения обратных часов, поскольку в процессе его вывода было принято одно допущение: предполагалось, что величина эффективного коэффициента размножения kэ очень мало отличается от единицы, в связи с чем допускалось, что r » dkэ. Эта натяжка незначительно влияет на точность решения и не меняет качественного характера решения системы дифференциальных уравнений кинетики реактора, но даёт возможность при этом значительно сократить объём математических преобразований при выводе уравнения обратных часов. Если бы мы не прибегали к указанному допущению, в результате более громоздкого вывода можно было бы получить более точное выражение для уравнения обратных часов (сравните):

(12.18а)

Уравнение обратных часов настолько важно и для анализа решений системы дифференциальных уравнений кинетики реактора, и для практической деятельности оператора реакторной установки, что мы временно прервём ход решения дифференциальных уравнений кинетики и остановимся на нём более подробно.

12.1.4. Уравнение обратных часов.

а) Уравнение обратных часов как характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений кинетики реактора. Развёрнутый вид уравнения:

свидетельствует о том, что это - алгебраическое уравнение седьмой степени относительно Т. Для того, чтобы понять это, достаточно мысленно представить, что получится в числителе выражения правой части уравнения после приведения его к общему знаменателю: седьмая степень уравнения становится очевидной. А это значит, что уравнение обратных часов в самом общем случае должно иметь семь корней.

В разделе математики “Решение дифференциальных уравнений” говорится, что вид, величины и знаки корней характеристического уравнения определяют вид решения дифференциальных уравнений. В частности, если характеристическое уравнение имеет действительные корни, то решение дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) имеет экспоненциальный вид. Это побуждает нас заняться анализом корней уравнения обратных часов.

Но вначале следует уточнить одну немаловажную деталь: отыскивая с самого начала именно экспоненциальное решение для дифференциального уравнения изменения плотности нейтронов в виде одной экспоненты - n(t) = no exp (t/T), - мы невольно совершили небольшой просчёт, который следует исправить по ходу дела. Если уравнение обратных часов имеет семь корней, то общее решение системы дифференциальных уравнений кинетики реактора будет не одной экспонентой, а будет представлять собой сумму семи экспонент, показатели которых определяются величинами этих семи корней уравнения обратных часов:

или в более краткой форме:

(12.19)

где То, T1, T2, ... , T6 - значения семи корней уравнения обратных часов, а Ao, A1, A2, ... , A6 - величины постоянных интегрирования, находимые путём подстановки в общее решение (12.19) конкретных начальных условий.

Знаки корней уравнения обратных часов наиболее наглядно видны, если показать его решение в графическом виде (см. рис.12.3).

r

1/T6 1/T5 1/T4 1/T3 1/T2 1/T1 1/T0

-l6 -l5 -l4 -l3 -l2 -l1 0 1/T

Рис,12.3. График зависимости корней уравнения обратных часов при положительных и

отрицательных реактивностях разной величины.

На этом графике показано решение уравнения обратных часов в зависимости не от величины самого периода Т, а от обратной ему величины 1/Т: так удобнее выполнять решение уравнения аналитически.

Как видим, функция r = f(1/T) имеет шесть точек разрыва (второго рода), и именно благодаря этой разрывности отдельные корни уравнения обратных часов отображаются на графике достаточно наглядно: области изменения каждого из семи корней по оси 1/T лежат между соответствующими точками разрыва; например, нулевой обратный корень 1/То лежит правее первой точки разрыва (- l1), первый обратный корень 1/Т1 - между первой и второй точками разрыва (-l1 и -l2), второй обратный корень 1/T2 - между второй и третьей точками разрыва (-l2 и -l3 ) и так далее; значения последнего, седьмого, обратного корня 1/Т7 - располагаются левее последней, шестой, точки разрыва (-l6).