Основы теории ядерных реакторов (стр. 32 )

Для практика-реакторщика полезно запомнить качест­венную зависимость рт от температуры активной зоны. Эта зависимость од­нозначна: поскольку длина диффузии L в любых веществах с ростом темпе­ратуры увеличивается (см. п.6.1.5), величина рт = (1 + В2L2)-1 с рос­том температуры в активной зоне из любых материалов и при любой её структуре будет уменьшаться.

to ­ ® T­ ® Tн­ ® Sa ¯ ® L­ ® L2­ ® pт¯.

Рис.6.5. Цепочка температурного влияния на величину ве­роятности избежания утечки тепловых нейтронов.

Примечание. В этом смысле температурная зависимость вероятности избежания утечки замедляющихся нейтронов pз = exp(-B2tт), прослеживае­мая через температурную зависимость возраста тепловых нейтронов в ак­тивной зоне, является хотя и аналогичной, но не столь однозначной, как рт. В твёрдых веществах возраст тепловых нейтронов с ростом температу­ры уменьшается (за счёт повышения величины энергии сшивки Ес), а пото­му величина рз за счёт наличия в активной зоне реактора твёрдых замед­лителей (графита - в уран-графитовом реакторе РБМК) может даже увели­чиваться, если графита в активной зоне настолько больше, чем второго замедлителя (воды), что эффект температурного уменьшения возраста в графите превалирует над эффектом температурного увеличения возраста в воде, отчего средний возраст тепловых нейтронов в активной зоне может с ростом температуры уменьшаться, а величина рз - увеличиваться. Реак­торам типа ВВЭР эта неоднозначность не свойственна: в них увеличение средней температуры активной зоны приводит к обязательному уменьшению величин и рз, и рт.

Так или иначе, однако, стоит взять на заметку, что за счёт изме­нения температуры замедлителя принципиально возможно управлять эффек­тивными размножающими свойствами активной зоны реактора (kэ) через посредство величин рз и рт.

6.4. Геометрический параметр цилиндрического реактора без отражателя и поле тепловых нейтронов в нём

Большинство энергетических тепловых реакторов имеют цилиндричес­кую форму активной зоны или очень близкую к ней. Среди многих сообра­жений при выборе формы активной зоны побеждает стремление сделать её симметричной, технологичной и удобной для организации теплосъёма.

Геометрический параметр Вг2 критической цилиндрической активной зоны может быть с равным успехом найден и из решения уравнения кри­тичности, и из решения волнового уравнения, но первое является транс­цендентным и не разрешается относительно В2 аналитически, следователь­но, при известных величинах k¥, L2 и tт из уравнения критичности можно найти только величину В2 (методом последовательных приближений), но нельзя получить удобной аналитической за­висимости Вг2 от размеров активной зоны (радиуса и высоты её).

Такое выражение В2 = f(Rаз, Hаз) можно получить только после реше­ния волнового уравнения и разрешения его относительно Вг2:

Bг2 = - [Ñ 2Ф(r)] / [Ф(r)], (6.4.1)

Но волновое уравнение - дифференциальное уравнение второго поряд­ка в частных производных, поэтому для получения конкретного (частного) его решения надо обязательно располагать парой граничных условий.

6.4.1. Граничные условия для решения волнового уравнения. Предпо­ложим вначале для простоты, что речь идёт о гомогенной цилиндрической активной зоне, окруженной пустотой (вакуумом). Почему именно пустотой?

Дело в том, что вакуум, кроме того, что он даёт возможность срав­нивать различные критические активные зоны в одинаковых условиях, яв­ляется в некотором смысле абсолютным поглотителем утекающих из актив­ной зоны нейтронов, поскольку он не содержит в себе объектов, с кото­рыми нейтрон может столкнуться, изменить направление движения и вер­нуться обратно в активную зону.

Единственной точкой цилиндрической гомогенной активной зоны, о ве­личине плотности потока тепловых нейтронов мы можем хоть что-то ска­зать, является центр её (середина её высоты по оси симметрии). И един­ственное, что мы можем сказать относительно плотности потока тепловых нейтронов в этой точке, - то, что величина Ф(r) в ней максимальна, по­скольку это - наиболее удалённая от всех границ активной зоны точка, и возможности для утечки тепловых нейтронов из неё за пределы активной зоны минимальны. z

0 r

Рис.6.6. Размещение начала цилиндрической системы координат в

геометрическом центре цилиндрической активной зоны.

И если поместить начало цилиндрической системы координат в центр активной зоны (рис.6.6), то первое граничное условие

Ф(r=0,z=0) = Фо = Фmax

- выглядит неопределённо, так как неясна конкретная величина это­го максимума. Это же граничное условие (как условие максимума функции Ф(r, z)) можно записать более определённо:

(dФ/dr)z=o = 0 и (dФ/dz)r=o = 0. (6.4.2)

Второе граничное условие в такой ситуации должно быть обязательно нетривиальным, то есть должно указывать на любое конкретное значение функции Ф(r, z) в какой-либо точке активной зоны. Здесь мы выдыхаемся: при всем желании указать такую точку в пределах активной зоны мы не в состоянии. На действительных границах активной зоны (при r = Rаз или z = ± Hаз/2) ве­личина плотности потока тепловых нейтронов - явно не нулевая.

Поэтому в качестве второго граничного условия вводится искусствен­ное условие, состоящее в следующем.

Предположим, что распределения Ф(r) и Ф(z) в пределах активной зоны от центра к периферии имеет характер нелинейного уменьшения. Но, если вообразить (рис.6.7), что функция Ф(r), переходя через границу ак­тивной зоны, продолжает уменьшаться линейно, причём, с тем же угловым коэффициентом, что и на границе активной зоны, то на некотором отстоя­нии d от границы активной зоны линейно-экстраполированная таким образом функция Ф(r) уменьшается до нуля.

Отстояние (d) от границы активной зоны в вакуум, на котором ли­нейно-экстраполированная на границе активной зоны функция распре­деления плотности потока тепловых нейтронов обращается в нуль, на­зывается длиной линейной экстраполяции.

Условная цилиндрическая поверхность, эквидистантно отстоящая от поверхности реальной цилиндрической активной зоны на длину ли­нейной экстраполяции, называется экстраполированной границей ак­тивной зоны.

Величины полуразмеров реальной цилиндрической активной зоны, увеличенные на длину линейной экстраполяции, называют экстраполи­рованными полуразмерами активной зоны:

R' = Rаз + d (6.4.3)

H'/2 = Hаз/2 + d (6.4.4)

Ф ( r )

Действительные границы активной зоны

Касательная к графику Ф(r) на границе активной зоны

r

Длина линейной экстраполяции d

Экстраполированные границы активной зоны

Действительный радиус

активной зоны Rаз Rаз + d = R¢ - экстраполированный радиус активной зоны

Рис.6.7. К понятию длины линейной экстраполяции, экстраполирован­ных границ

и экстраполированных размеров активной зоны.

Кинетическая теория даёт простую формулу для длины линейной экс­траполяции:

d = 0.7104 ltr = 0.7104 / Str (6.4.5)

Учитывая сказанное, второе граничное условие звучит просто:

На экстраполированных границах активной зоны величина плотности потока тепловых нейтронов равна нулю: Ф(r=R') = 0 и Ф(z=±H'/2) = 0 (6.4.6)

6.4.2. Результат решения волнового уравнения для цилиндрической гомогенной активной зоны. Если записать волновое уравнение в цилиндри­ческой системе координат, начало которой совпадает с центром активной зоны, и решить его при обозначенных выше граничных условиях, то интег­рал этого уравнения будет иметь вид:

(6.4.7)

Выражение (6.4.7) означает, что:

- распределение величины плотности потока тепловых нейтронов по высоте цилиндрической гомогенной активной зоны (в точках равно­удаленных от оси симметрии на расстояние r) подчиняется закону косинуса:

Ф(z) r=idem = Фоr cos(pz/H'), (6.4.8)

где Фоr = Ф(z=0, r) - значение плотности потока тепловых нейтронов на цилиндрической поверхности радиуса r на середине высоты активной зоны (рис.6.8):

 

d

d d

r

d

Рис.6.8. Эпюры распределения плотности потока тепловых нейтронов по высоте цилиндрической

гомогенной активной зоны по оси симметрии и на разных отстояниях от оси.

z

d

d d

r

d

Рис.6.9. Эпюры распределения плотности потока тепловых нейтронов по радиусу

цилиндрической гомогенной активной зоны на разных уровнях по её высоте.

-  распределение плотности потока тепловых нейтронов по радиусу активной зоны (в плоских круговых поверхностях на любой фиксиро­ванной высоте z над (или под) центром активной зоны) подчиняется закону функции Бесселя первого рода нулевого порядка:

Ф(r) z=idem = Фоz Io(2.405r/R'), (6.4.9)

где Фоz = Ф(z, r=0) - значение плотности потока тепловых нейтронов на оси симметрии активной зоны на высоте z (рис.6.9).

Функция Бесселя первого рода нулевого порядка Io(x) для действи­тельного аргумента x появляется при решении волнового уравнения в ци­линдрической системе координат. Начальный участок графика этой функции (при изменении x в пределах от 0 до 2.405) напоминает график функ­ции косинуса в пределах от 0 до p/2: при x = 0 Io = 1, а при x = 2.405 Io = 0 (рис.6.10). Более того, значения этих функций при значениях ар­гумента x в указанных интервалах их с точностью до + 2% совпадают.