Основы теории ядерных реакторов (стр. 65 )

При этом знаки всех семи корней уравнения обратных часов определяются самым наглядным образом: в точках пересечения соответствующих участков графика с горизонтальной прямой, отсекающей на оси ординат рассматриваемое значение реактивности r.

Из графика видно, что, если величина сообщаемой реактору реактивности положительна, то нулевой обратный корень 1/То , а, значит, и сам корень То, - положителен (так как располагается в правой полуплоскости, правее оси О - r). Остальные шесть корней (Т1 ё Т6) уравнения обратных часов - отрицательны (лежат в левой полуплоскости). Если же величина сообщаемой реактору реактивности отрицательна, то все семь корней уравнения обратных часов отрицательны (лежат в левой, отрицательной, полуплоскости).Что касается величин самих корней, то они, как следует из графика, определяются только величиной сообщаемой реактору реактивности r.

Теперь о знаках постоянных интегрирования (Ао ё А6). Здесь не приводится полный (и очень громоздкий) аналитический вывод общего выражения для любой из постоянных интегрирования, которое имеет вид:

(12.20)

Квадраты в выражении в скобках под знаком суммы, независимо от знака корня Тi , всегда имеет положительный знак, и, поскольку все остальные величины знаменателя положительны, то весь знаменавсегда положителен. А раз так, то знак постоянной интегрирования Аi всегда определяется знаком произведения rТi в числителе правой части этого выражения. То есть, если нулевой корень То при r > 0, как говорилось выше, положителен (То > 0), то произведение rТо > 0, а, следовательно, Ао > 0. При отрицательной же величине реактивности (r < 0) произведение отрицательного нулевого корня То на отрицательную величину реактивности r даёт положительную величину произведения rТо, и, следовательно, величина нулевой постоянной интегрирования будет иметь положительный знак. Проделав такой микроанализ со всеми величинами постоянных интегрирования, можно прийти к общему выводу:

при r>0: То > 0 и Ао > 0, а остальные корни (Т1ёТ6)<0 и (А1ёА6) < 0 (12.21)

при r<0: все 7 корней (ТоёТ6)<0, а постоянные интегрирования (АоёА6)>0 (12.22)

б) Самостоятельное практическое значение решения уравнения обратных часов.

Анализ знаков корней уравнения обратных часов и постоянных интегрирования безусловно важен, так как он даёт возможность выявить качественную структуру и дать физическое толкование характеру переходных процессов при сообщении реактору реактивности того или иного знака.

Но значение уравнения обратных часов не исчерпывается только этим. Забегая немного вперёд, заметим, что из семи корней уравнения обратных часов старший корень То (старший - в математическом понимании этого слова, то есть - наибольший по абсолютной величине) имеет простое физическое толкование: это - тот самый установившийся период, определяющий “чисто экспоненциальное” изменение плотности нейтронов в реакторе в развитой стадии переходного процесса n(t). (Почему это так, станет ясно немного позже).

 

r,% r, %

а) График

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0 10 20 30 40 50 Т2 с

б) Таблица

r, %	0.2925	0.2152	0.1745	0.1482	0.1294	0.1152	0.1039	0.0948	0.0872
Т2, с	5	10	15	20	25	30	35	40	45

Рис. 12.2. Две наглядные формы отображения взаимосвязи реактивности реактора r и установившегося периода удвоения мощности реактора Т2 , вытекающие из решения уравнения обратных часов.

Эту величину установившегося периода, как уже говорилось, легко измерить практически с помощью самого обычного секундомера. Вместе с тем, величина установившегося периода (То) для конкретного реактора в рассматриваемый момент кампании определяется только величиной сообщённой реактору реактивности r, следовательно, уравнение обратных часов для конкретного реактора (с конкретной величиной bэ) устанавливает жёсткую однозначную взаимосвязь величин реактивности r и установившегося периода То (или r - с величиной установившегося периода удвоения мощности реактора Т2, которая, как мы знаем, пропорциональна величине установившегося периода То).

А это значит, что по величине измеренного установившегося периода удвоения мощности можно находить величину сообщённой реактору реактивности, и, наоборот, - по величине сообщённой реактору реактивности можно предсказывать, с каким установившимся периодом удвоения будет происходить установившийся разгон (или спад) мощности ядерного реактора. Это, согласитесь, практически очень важно для оператора реакторной установки. Эту взаимосвязь можно занести в программу компьютера, можно выразить в форме таблицы или в форме графика.

Пользуясь приведенными таблицей или графиком, оператор имеет возможность быстро оценить величину реактивности реактора по измеренному периоду удвоения мощности или предсказать величину установившегося периода разгона реактора по величине реактивности, которую он собирается сообщить реактору.

12.2. Переходные процессы при сообщении реактору отрицательной

реактивности

12.2.1. Характер переходных процессов n(t) при r < 0. Так как при сообщении реактору отрицательной реактивности все семь корней уравнения обратных часов отрицательны, это означает, что общее решение системы дифференциальных уравнений кинетики представляет собой алгебраическую сумму семи убывающих экспонент (любая экспонента с отрицательным показателем - убывающая). А поскольку (см. условие (12.22)) все без исключения постоянные интегрирования Аi в случае отрицательной реактивности положительны, то можно выразиться более точно: при отрицательной реактивности решение системы дифференциальных уравнений кинетики есть арифметическая сумма семи убывающих экспонент, и если обозначать через Тi абсолютную величину корней уравнения обратных часов, то:

(12.23)

Геометрическое суммирование семи убывающих экспонент показано (качественно) на рис.12.2. Как видим, переходный процесс n(t) в “холодном” реакторе имеет уже не тот моноэкспоненциальный вид, который получался из решения элементарного уравнения кинетики. Здесь хорошо просматриваются две стадии развития переходного процесса, свойственные реальным переходным процессам во всех реакторах, а именно, - стадия начального скачка, продолжительность которой определяется временем, в течение которого шесть младших экспонент спадают до практического нуля, и стадия чисто экспоненциального спада плотности нейтронов, определяемая старшей, экспонентой Ао exp(- t/To), показатель которой обратно пропорционален наибольшему по абсолютной величине корню уравнения обратных часов.

Теперь смысл названия установившегося периода То должен быть до конца ясен.

Зависимость любого (переходного) периода Тi при отрицательной величине сообщаемой реактору реактивности имеет обратный характер: чем больше абсолютная величина сообщаемой реактору отрицательной реактивности, тем меньше абсолютная величина любого из корней уравнения обратных часов Тi (что очень наглядно иллюстрирует график решения уравнения обратных часов).

n(t)

no

Начальный скачок

Dn0

Ao

Экспоненциальный спад плотности нейтронов

с установившимся периодом Т0

A0 exp(t/T0)

A1

A1 exp(t/T1)

A2

A3 A2 exp(t/T2)

A4

A5

A6

0 t

Рис.12.3. Экспоненциальные составляющие переходного процесса n(t) при скачкообразном

сообщении критическому реактору отрицательной реактивности. (Очевидное нарушение масштаба

изображения вдоль оси 0 – n допущено намеренно, с целью большей качественной наглядности).

Иными словами: чем больше абсолютная величина сообщаемой реактору отрицательной реактивности, тем больше абсолютная величина начального скачка.

Нелинейный характер начальной стадии переходного процесса ещё более наглядно иллюстрируется графиком зависимости, построенным в полулогарифмической системе координат для различных значений отрицательной реактивности (рис.12.4).

Ln n(t)

ln no

tg a =

a

при r1 < 0

при r2 < r1

при r3 < r2

0 t

Рис.12.4. Качественный вид переходных процессов n(t) в полулогарифмической системе координат.

Логарифмирование экспоненциальной функции даёт, как известно, линейную зависимость, изображаемую прямой линией, угловой коэффициент которой численно равен постоянному сомножителю в показателе экспоненты, то есть, в данном случае, - величине (-1/То). Поэтому в полулогарифмической системе координат прямой линией изображается только вторая, чисто экспоненциальная стадия переходного процесса n(t), а на стадии начального скачка переходный процесс выглядит нелинейным.