Основы теории ядерных реакторов (стр. 31 )

Для получения скорости утечки из единичного объёма надо скорость утечки из элементарного объёма dV разделить на величину этого объёма:

qу = dQ/dV = Ñ I(r) (6.2.3)

Но выражение для вектора плотности тока тепловых нейтронов в соот­ветствии с законом Фика для них:

I(r) = - D Ñ Ф(r).

Подстановка этого выражения в (6.2.3) дает:

qу = Ñ[-DÑФ(r)] = - DÑ [Ñ Ф(r)] = - DÑ 2Ф(r), (6.2.4)

поскольку оператор Гамильтона от оператора Гамильтона функции, как известно, есть оператор второго порядка этой же функции - оператор Ла­пласа. В теории поля оператор Лапласа иначе называют дивергенцией.

Таким образом, в общем виде локальная скорость утечки теп­ловых нейтронов из единичного объёма с учётом величины коэффици­ента диффузии (D = 1/3Str) выразится так:

(6.2.5)

6.3. Волновое уравнение, уравнение критичности реактора и ве­личина

вероятности избежания утечки тепловых нейтронов

6.3.1. Волновое уравнение (уравнение Гельмгольца). Волновое урав­нение получается из уравнения баланса тепловых нейтронов (6.2.1), за­писанного для критического реактора (то есть dn/dt = 0), путём подста­новки в него выражений для скоростей генерации (формула (5.4.14)), по­глощения (Ra = SaФ) и утечки тепловых нейтронов (формула (6.2.5)):

k¥SaФ exp(-B2tт) - SaФ + (1/3Str)Ñ 2Ф = 0,

или, если разделить это выражение почленно на ненулевую величину Sa:

(1/3SaStr)Ñ 2Ф + [k¥ exp(-B2tт) - 1]Ф = 0, или, с учётом того, что (1/3SaStr) = L2:

Ñ2Ф + [k¥ exp(-B2tт) - 1]Ф / L2 = 0 (6.3.1)

А теперь оставим на минуту это выражение и вернемся к п.5.4.3, где было получено уравнение пространственной части решения уравнения воз­раста Ферми (см. выражение (5.4.8)):

Ñ 2R/R = - B2, или Ñ 2R + B2R = 0, (6.3.2)

где функция координат R была впоследствии найдена:

R = k¥SaФ/(jTo) (6.3.3)

Подстановка (6.3.3) в (6.3.2) и последующее сокращение на ненуле­вую постоянную величину k¥Sа / jTo приводят к следующему выражению:

Ñ 2Ф + B2Ф = 0 (6.3.4)

В этом выражении В2 - постоянная величина (параметр реактора).

Уравнения такого типа среди прочих уравнений математической физи­ки известны как простейшие уравнения волнового типа, поэтому уравнение (6.3.4) называют волновым уравнением критического реактора (или уравнением Гельмгольца).

Его решение для активной зоны конкретных формы и размеров - есть функция Ф(r) распределения плотности потока тепловых нейтронов по ко­ординатам её объёма.

Здесь сразу же уместно задуматься над вопросом: чем вообще может определяться распределение плотности потока тепловых нейтронов в объё­ме активной зоны критического (то есть стационарного) реактора? - Поскольку функция Ф(r) фигурирует в уравнении волнового процесса, зна­чит ли это, что диффузия нейтронов вообще является волновым процессом? Таким, скажем, как процесс колебания гитарной струны, или процесс рас­пространения волн по водной поверхности, или любой физический процесс, формально описываемый тем же волновым уравнением?

Житейский опыт подсказывает, что амплитуда и частота колебаний ги­тарной струны (параметры волнового процесса) определяются длиной и ди­аметром струны (то есть её геометрическими характеристиками), упругими свойствами материала струны и степенью её натяжения (т. е. физическими свойствами колеблющейся среды и условиями организации колебаний).

Аналогично обстоит дело и с распределением Ф(r) в волновом процес­се диффузии тепловых нейтронов в активной зоне: оно тоже определяется и геометрией, и физическими свойствами среды активной зоны реактора, и условиями окружения активной зоны. Но так как в уравнении (6.3.4), кро­ме функции Ф(r), есть лишь один параметр (В2), то именно этот постоян­ный параметр должен отражать и физические (материальные) свойства сре­ды активной зоны, и её геометрические свойства. На этом основании па­раметр реактора (В2) называется и геометрическим параметром (и обозна­чается Вг2), и материальным параметром (Вм2).

Вг2 и Вм2 - физически различные характеристики: одна определяется только формой и размерами активной зоны, другая - только составом ком­понентов активной зоны реактора. Но они равны только в критическом ре­акторе, поскольку волновое уравнение получено для критического реакто­ра и только для него оно имеет смысл в том простейшем виде, в котором оно было получено.

В некритическом реакторе n(t) ¹ idem, dn/dt ¹ 0, и поэ­тому в нестационарном волновом уравнении должно было бы появиться ещё одно слагаемое в правой части, зависящее от времени t.

Возникает закономерный вопрос: о каком волновом процессе может во­обще идти речь в критическом реакторе, который является принципиально­ стационарным, и какое отношение вообще имеет волновое уравнение к ста­ционарному реактору?

- А вот какое: волновое уравнение в форме Гельмгольца (то есть с нулевой правой частью) описывает не волну в движении, а является урав­нением стоячей волны. Это совсем не означает, что тепловые нейтроны в реакторе неподвижно застыли в различных точках активной зоны реактора. Они движутся (да еще как!) в направлении от центра к периферии, по пу­ти к ним добавляются ещё тепловые нейтроны, рождаемые за счёт замедле­ния, часть их поглощается на этом пути, часть диффундирует дальше, но так, что в любом микрообъеме активной зоны в любой момент времени чис­ло тепловых нейтронов - в итоге протекания непрерывно идущих процессов генерации, поглощения и утечки - поддерживается постоянным, так же, как неизменным во времени поддерживается и энергетический спектр тепловых нейтронов.

Итак, стационарное волновое уравнение (уравнение Гельмгольца) яв­ляется дифференциальным уравнением стоячей волны плотности потока теп­ловых нейтронов в активной зоне реактора. Его решение - функция прост­ранственного распределения величины плотности потока тепловых нейтро­нов по объёму активной зоны.

6.3.2. Уравнение критичности реактора. Теперь вернемся к уравне­нию (6.3.1) и сравним его с уравнением (6.3.4). Сразу бросается в гла­за схожесть этих уравнений, хотя и получены они из разных предпосылок: уравнение (6.3.1) - из уравнения баланса тепловых нейтронов в крити­ческом реакторе, а уравнение (6.3.4) - при решении уравнения возраста Ферми тоже для критического реактора. И сразу было отмечено: эта часть решения является пространственной, (т. е. дающей пространственное расп­ределение плотности потока нейтронов любой кинетической энергии в объ­ёме активной зоны). В частности, оно должно быть справедливо и для те­пловых нейтронов. Поэтому неудивительно, что оба эти уравнения внешне схожи: они оба описывают одну и ту же величину Ф(r) для одного и того же объекта - критического реактора, - то есть оба они - являются, по существу, одним и тем же уравнением.

А раз это так, то в обоих уравнениях в сходных членах должны быть равными коэффициенты, то есть:

[k¥ exp(-B2tт)-1] / L2 = B2, откуда следует, что

(6.3.5)

Чтобы понять, что собой представляет это уравнение, вернемся на ми­нуту назад, к условию критичности реактора, которое выражается простым равенством kэ = 1. Но величина эффективного коэффициента размножения:

kэ = k¥ pз pт,

а с учётом найденного ранее выражения pз = exp(-B2 tт):

kэ = k¥ exp(-B2 tт) pт.

Приравнивая величину последнего выражения единице, получаем раз­вернутое условие критичности:

k¥ exp(-B2tт) pт = 1 (6.3.6)

Сравнивая выражения (6.3.5) и (6.3.6), следует сделать выводы:

а) Уравнение (6.3.5) выражает развёрнутое условие критичности ­реактора. Поэтому его и называют уравнением критичности реактора.

б) Из сходства (6.3.5) и (6.3.6) вытекает, что величина вероятнос­ти избежания утечки тепловых нейтронов

pт = = (1 + B2L2)-1 (6.3.7)

Уравнение критичности можно записать в ещё более развёрнутом виде:

(6.3.8)

Его вид ясно иллюстрирует взаимосвязь размножающих свойств актив­ной зоны (определяемых величинами h, e, j, q, tт и L2) с критическими размерами активной зоны (скрытых в величине параметра реактора В2, ко­торый в активной зоне критического реактора является и геометрическим, и материальным).

6.3.3. Вероятность избежания утечки тепловых нейтронов. Получен­ное выражение для величины вероятности избежания утечки тепловых нейт­ронов при диффузии (6.3.7) полностью согласуется как с начальной гипо­тезой о зависимости pт от геометрии и физических свойств среды актив­ной зоны (от геометрического параметра В2 и квадрата длины диф­фузии L2), так и с физическим смыслом длины диффузии: чем больше L, тем прозрачнее среда активной зоны для тепловых нейтронов, и больше толщи­на периферийного слоя активной зоны, из которого рождающиеся тепловые нейтроны могут испытать утечку за её пределы в процессе их диффузии, и тем выше доля утекающих из активной зоны тепловых нейтронов, а поэтому меньше доля остающихся в ней тепловых нейтронов рт.