Комплексный экономический анализ (стр. 15 )

Портфель, состоящий из нескольких активов. Если распределения доходности отдельных ценных бумаг являются нормальными, то для определения риска портфеля, состоящего из нескольких активов, используют следующую формулу:

где - дисперсия доходности портфеля;

- среднеквадратическое отклонение доходности портфеля;

и - доля i-го и j-го активов в портфеле;

и - среднеквадратическое отклонение доходности i-го и j-го активов;

n - число возможных состояний экономики;

и - суммирование по всем n активам, причем во втором слагаемом - коэффициент корреляции между доходностью актива i и актива j.

В случае двух активов в портфеле формула (3.11) примет вид:

3.3. Эффективные портфели и выбор оптимального портфеля

Выбор эффективных портфелей, т. е. портфелей, которые обеспечивают максимальную ожидаемую доходность при определенном уровне риска или минимальный уровень риска для определенной ожидаемой доходности, - важная задача экономического анализа, при решении которой учитывают статистические взаимосвязи доходности активов.

Пример. Необходимо осуществить инвестиции в активы А и В, причем распределение капитала между этими активами может быть любым. Ожидаемая доходность актива А = 10% годовых, среднее квадратическое отклонение доходности = 10%, для актива В = 20%, = 20%. Определить множество допустимых портфелей и выделить из допустимого множества эффективное подмножество при следующих значениях коэффициента корреляции = +1, = 0 и = -1. Рассчитаем доходность и среднее квадратическое отклонение доходности портфеля при разных долях активов в его составе, используя формулы (3.7) и (3.12). Так, если доля актива А составляет 75% - = 0,75 и коэффициент корреляции = 1, то:

Возможное множество портфелей. По результатам расчетов построим графики (рис. 3.1), характеризующие допустимое, или возможное, множество портфелей, имеющих разную структуру. Но не все портфели, принадлежащие допустимому множеству, являются эффективными. Нижняя ветвь кривой на графике "б" и нижняя часть ломаной линии на графике "в" соответствуют неэффективным портфелям, тогда как верхние ветви линий этих графиков соответствуют эффективным портфелям, т. е. портфелям с более высокой доходностью при одном и том же уровне риска по сравнению с другими. Только эти портфели, образующие эффективное множество, следует рассматривать при формировании оптимального портфеля. Наиболее типичная картина связи доходности и риска портфеля активов показана на рис. 3.1б, так как активы, для которых коэффициент корреляции принимает значение ±1,0, на практике не встречаются.

Рис. 3.1. Доходность и риск портфеля при различном сочетании активов:

а) =+1; б) =0; в) =-1

Обычно для формирования портфеля из большого набора активов необходимо составить эффективное множество портфелей, при котором соотношение между риском и доходностью достигает максимума. Это множество будет характеризоваться функцией, график которой подобен верхней ветви графика на рис. 3.1б. На рис. 3.2 эффективные портфели, составленные из множества активов, характеризуются частью BME линии ABME, которая ограничивает заштрихованную область возможных портфелей. Справа эта область ограничивается линиями АН, НG, GЕ, которые характеризуют доходность и риск портфелей, состоящих только из двух акций - соответственно А и Н, Н и G, G и Е.

Рис. 3.2. Эффективные и оптимальные портфели, комбинирование инвестором безрискового актива с рыночным портфелем

Портфель, состоящий из множества активов. При добавлении в портфель все большего количества новых активов, как правило, риск портфеля будет быстро снижаться. Характеризовать риск портфеля, составленного из множества активов, можно с помощью I-коэффициента (йота-коэффициента), который, как было указано, представляет собой отношение среднеквадратического отклонения и ожидаемой доходности и определяется в этом случае с использованием формул (3.7) и (3.11). В простейшем случае йота-коэффициент определяется следующим образом:

где - йота-коэффициент доходности портфеля;

- взвешенное среднее йота-коэффициента активов;

n - число активов в портфеле;

r - взвешенное среднее значение коэффициента корреляции доходности активов, входящих в портфель.

Используя формулу (3.13), можно установить, что с увеличением числа активов в портфеле риск быстро убывает, но к нулевому значению он стремится лишь при отрицательных значениях коэффициента корреляции доходности активов, входящих в портфель (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Влияние на риск количества активов в портфеле и связи между ними

#G0Средний взвешенный коэффициент корреляции	Относительный риск (/i) при числе активов в портфеле
	1	10	20	30	40	50
+1,00	1,00	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
+0,50	1,00	0,741	0,724	0,718	0,716	0,714
0,00	1,00	0,316	0,223	0,182	0,152	0,141
-0,05	1,00	0,234	0,050	0,000	*	*
_____ * При таком количестве источников тесная отрицательная корреляция невозможна

Известно, однако, что между доходностью многих активов существует положительная связь.

Например, между акциями на фондовых рынках существует положительная связь, характеризующаяся средней величиной коэффициента корреляции 0,50,8.

Поэтому формирование портфеля акций способно сократить общий риск лишь на 4050%.

Согласно данным Нью-Йоркской фондовой биржи, за 80-90-е гг. XX в. среднее квадратическое отклонение портфеля, состоящего из одной средней акции, составляло примерно 28%; портфель, состоящий из всех акций, котирующихся на бирже, и называемый рыночным портфелем, имел среднее квадратическое отклонение доходности около 15%.

Элементы общего риска активов - это две составляющие риска:

- несистематический, или диверсифицируемый, риск, который присущ отдельным активам и может быть устранен путем формирования эффективного портфеля;

- систематический, или недиверсифицируемый, или рыночный, риск, который присущ всему рынку активов и не может быть устранен за счет формирования портфеля.

На упомянутой Нью-Йоркской фондовой бирже систематический риск составил 15%, доля средней величины несистематического риска: 28 - 15 = 13%.