Дискретно-непрерывная математика (стр. 11 )

Теперь понятно, почему такое значение приобретает здесь представление данной логики в виде дедуктивного исчисления. С другой стороны, пришло oсознание того, что неразрешимость является фундаментальным свойством даже таких «простых» логических исчислений, как первопорядковое исчисление предикатов. Более того, как мы увидим далее, некоторые пропозициональные логики тоже могут быть неразрешимыми, например, знаменитая релевантная логика R, в которой уточняется классическое понятие логического следования (см. ниже раздел 8.5.2).

2. Интуитивное понимание многозначной логики и ее возникновение

2.1. Интуитивное понимание многозначной логики

Многозначная логика в отличие от двузначной классической логи­ки имеет дело не только с истинными и ложными высказываниями, но и с высказываниями, которые таковыми не являются. Вопрос о том, что представляют собой высказывания, которые не истинны и не ложны, — центральная философская проблема для многозначных логик. По крайней мере, как мы увидим, потребовалось введение в логику хотя бы еще одного истинностного значения, отличного от 1 (истина) и 0 (ложь). Множественность значений истинности вы­сказываний позволяет строить из простых высказываний при по­мощи логических операций такие сложные высказывания, для ко­торых нет аналогов в двузначной логике. В общем случае многозначная логика представляет собой обобщение двузначной логики, которая не может отразить всего многообразия логических построений, встречающихся на практике.

2.2. Источники многозначности в логике

Естественно возникает вопрос об источниках многозначности в ло­гике. Один из убедительных философских аргументов в пользу принятия многозначной логики связан с указанием на недостаточ­ность классических истинностных значений 1 и 0 для построения логических конструкций, моделирующих человеческие рассужде­ния. (Часто вместо цифр 1 и 0 употребляются буквы И и Л, или Т и F, или t и f соот­ветственно. ) Недостаточность классических истинностных значений в пер­вую очередь возникает из-за плюрализма нашего знания, например, в силу неопределенности поведения некоторых объектов и систем или неопределенности исходов эксперимента. Во-вторых, это от­сутствие информации достаточной, чтобы оценить каждое выска­зывание как истинное или ложное. Например, неполнота инфор­мации может быть следствием неточности измерений. На современном уровне с условием неполноты информации связана разработка ДСМ-метода, в котором формализованы и программно реализованы методы сходства и различия Джона Стюарта Милля.

При неполной информации происходит также процесс аргументации. Наконец, имеет место принципиальная неполнота информации в некоторых математических теориях. В-третьих, су­ществуют высказывания, могущие терять смысл, и приписывание им истинностных значений зависит от контекста их употребления. Одним из самых интересных примеров здесь служат высказывания, формулирующие логические и семантические парадоксы. В-четвертых, имеется принципиальная многозначность (или нечет­кость, размытость), органически связанная с определенными мно­жествами и свойствами этих множеств. Например, хорошо извест­ный парадокс «куча» Эвбулида из Милета на самом деле означает, что понятие кучи является принципиально нечетким. Из подобной нечеткости, аналогами которой являются понятия «молодой», «вы­сокий» и т. д., в общем случае следует потребность в бесконечном числе истинностных значений, поскольку быть молодым можно с различной степенью, например, со степенью из интервала [0, 1], мощность которого континуум (см. гл. 9).

2.3. Доказательство независимости аксиом

Кроме этих основных источников многозначности существует мно­го других мотивировок, приводящих к идее построения многознач­ных логик. Например, мы можем потребовать, чтобы аксиомы и правила вывода классической логики обладали свойством незави­симости. Свойство независимости аксиомы А заключается в том, что А не есть теорема в системе, получающейся исключением А из числа аксиом. Тогда для доказательства независимости аксиомы А надо подобрать такие истинностные таблицы (модель), в которых все правила вывода обладают свойством сохранять тавтологию (т. е. заключение оказывается тавтологией каждый раз, когда посылки являются тавтологиями) и все аксиомы, кроме А, суть тавтологии. Отсюда будет следовать, что не являющаяся тавтологией аксиома А независима. Правило вывода является независимым, если сущест­вует теорема, которая не может быть доказана без этого правила. Описание общего метода доказательства независимости аксиом и правил вывода дано А. Чёрчем [Чёрч I960].

Идея возможности формализации индуктивных методов Д. С, Милля средствами многозначных логик была высказана .

Докажем независимость аксиоматизации классической пропо­зициональной логики С2, приведенной нами в разделе 1.5. Начнем с аксиомы (2)

Рассмотрим следующие истинностные трехзначные таблицы для отрицания и импликации:

Звездочкой отмечено выделенное значение, которое принимают тавтологии. Легко проверить, что аксиомы (1) и (3) являются тав­тологиями. Однако аксиома (2) не является тавтологией, ибо она принимает значение 1/2, когда р, q, r получают соответственно зна­ченияи 0.

Независимость аксиомы (3)Рассмотрим

следующие таблицы:

Тогда аксиомы (1) и (2) являются тавтологиями, а аксиома (3) нет, ибо принимает значение1/2, когда р принимает значение и q принимает значение 1,

Независимость аксиомы (1) Рассмотрим следующие

таблицы:

Тогда аксиомы (2) и (3) являются тавтологиями при двух выде­ленных значениях 1 и 1/2, а аксиома (1) нет, ибо принимает зна­чение 0, когда р принимает значение 1/2 и q принимает значение 1.

Понятно, что при доказательстве независимости могут быть ис­пользованы в качестве модели различные истинностные таблицы, например, при доказательстве независимости аксиомы (1) можно подобрать истинностные таблицы с одним выделенным значением. При этом надо быть внимательным при подборе соответствующей таблицы для импликации. Для того, чтобы правило МР сохраняло тавтологию, надо следить за следующим: если высказывание р принимает выделенное значение, a q принимает не выделенное значение, то импликативное высказываниене должно прини-

мать выделенное значение. Независимость правила МР следует из того факта, что доказанная нами ранее теоремане может быть

получена без применения МР, поскольку является короче любой из трех наших аксиом. Что касается правила подстановки, то оно все­гда сохраняет тавтологию при любой системе истинностных значе­ний и при любой истинностной таблице, Его независимость следу­ет из того факта, что без него не может быть доказана никакая формула, которая была бы длиннее самой длинной аксиомы.

Метод использования многозначных истинностных таблиц (с одним или несколькими выделенными значениями) для доказатель­ства независимости аксиом был уже известен П. Бернайсу в 1918г. Однако, как замечает Я. Лукасевич [Lukasiewicz 1941], этот метод был известен ему до публика­ций П. Бернайса. Исследования в этой области проводились также А. Тарским [Tarsia 1930], согласно которому множество аксиом является независимым, если оно не эквивалентно никакому своему собственному подмножеству. Ряд логиков связывает проис­хождение многозначной логики именно с обобщением идеи доказа­тельства независимости аксиом классической логики. В этом случае многозначные истинностные таблицы рассматриваются в их самостоятельном значении. Это значит, что к рассмотрению берет­ся некий абстрактный универсум, в котором высказывания разде­лены на п категорий, в отличие от классической логики, где выска­зывания разделены на две категории. Отсюда в чистом виде возникает сложнейшая проблема интерпретации этого абстракт­ного универсума (см. гл. 10).

Данный метод доказательства независимости аксиом станет важнейшим инструментом при построении конечных буле­вых решеток импликативных и других логик (см. Приложение).

Конечно, метод доказательства независимости аксиом был рас­пространен и на более богатые системы, включая первопорядковую логику. Особую значимость он приобрел при доказательстве неза­висимости аксиом теории множеств. Ключевая идея была объясне­на Д. Скоттом в 1967 г. и состояла в том, что множество истинно­стных значений образует структуру в виде булевой алгебры, а сам метод получил название булевозначных моделей для теории мно­жеств (см., например, [Rosser 1969]).

2.4. Аристотелевский фаталистический аргумент

На самом же деле многозначная логика возникла из весьма глубо­ких философских предпосылок. Она появляется тогда, когда отвер­гается принцип двузначности (принцип бивалентности), согласно которому любое высказывание является или только истинным или только ложным. Однако уже в античности этот принцип был под­вергнут сомнению. Аристотель в знаменитой 9-ой главе трактата «Об истолковании» [Аристотель 1978], пытаясь опроверг­нуть им же изобретенный фаталистический аргумент, ставит про­блему истинностного статуса высказываний о будущих случайных событиях, например, таких, как завтрашнее морское сражение. Де­ло в том, что Аристотель придерживается принципа, который, ви­димо, был общепринят в античности, что истинность высказывания о некотором событии влечет его необходимость (принцип необхо­димости). Тогда суть аристотелевского аргумента можно выразить так.