Дискретно-непрерывная математика (стр. 34 )

торы, которые удовлетворяют следующим условиям:

где стоит вместо

Эквациональный класс п-значных алгебр Лукасевича обозна­чим посредством Приведем пример

есть импликация Гёделя (см. выше 5.1.7), определены выше. Поскольку

,

то характеризации п-значных алгебр Лукасевича, данные Г. Мойсилом и Л. Итурриоз, эквивалентны.

(Это утверждение есть обобщение Г. Мойсилом [Moisil 1965] своего ре­зультата о том, что трехзначная алгебра Лукасевича есть алгебра Гейтинга [Moisil 1963]. Исправленное доказательство приведенного утверждения дано в диссертации Р. Чиньоли [Cignoli 1970]. Наиболее простое определение принадлежит Л. Итурриоз [Ilurrioz 1977]:

)

Свойства эквационального класса исследовались в [Cignoli 1970], [Balbes and Dwinger 1974], [Iturrioz 1977; 1983] и других работах.

Очевидно, что алгебра есть дважды алгебра Рейтинга, по­скольку Еще один факт: алгебра есть алгебра Клини [Sicoe 1967]. Историче­ский экскурс о взаимоотношении алгебр Рейтинга и алгебр Лукасевича см. в [Cignoli 1980].

Обратим внимание, что Ji-операторы Россера-Тюркетта выра­зимы в

n-значной алгебре Лукасевича. Установим, что х=0. Тогда

Более того,

.

Таким образом, в n-значной алгебре Лукасевича операторы можно заменить на операторы

Теперь сделаем замечание. А. Роуз обнаружил, что для случая п ≥ 5

n-значная алгебра Лукасевича соответствует не п-значным логикам Лукасевича а их фрагментам (см. предисловие в [Cignoli 1970]). Это значит, что посредством операций (или .нельзя выразить импликацию Лукасевича х → у для случая Это же самое открытие сделал А. Тюркетт [Turqette 1969], правда, совершенно по другому поводу, а именно при обоб­щении трехзначной логики Лукасевича на n-значный случай.

Отсюда возникает проблема построения адекватной алгебры для п-значной логики Лукасевича Тогда построенные алгебры естественно называть алгебрами Лукасевича—Мойсила, а соответ­ствующие им логики будем называть логиками Лукасевича— Мойсила, множество исходных связок которых может быть сле­дующее:

Подходящие алгебры для были построены Р. Григолия [Гри­голия 1973] как ограничение на конечнозначный случай MF-алгебр, введенных в [Chang 1958] и являющихся алгебраической семантикой для бесконечнозначной логики Лукасевича(О МК-алгебрах см. ниже в разделе 8.1.1). В этих работах Р. Григолия доказал, что произвольная конечная ал­гебра Лукасевича (не Лукасевича-Мойсила) представима в виде прямого произведения -алгебр, где т ≤ п и

т-1 делит n-1 алгебра есть матрица

Однако эти алгебры не основаны непосредственно на реше­точной структуре.

В [Cignoli and de Gallego 1981] строится пятиэлементная ал­гебра для в основе которой лежит алгебра де Моргана с допол­нительными условиями для новых унарных операторов, а в [Cignoli 1980] (см. в особенности [Cignoli 1982]) введена собст­венно п-значная алгебра Лукасевича.

Пусть если

п > 5, и если

если если п < 4.

Собственно п-значная алгебра Лукасевича есть

система

такая, что

есть n-значная алгебра Лукасевича-Мойсила есть

бинарные операции, определенные на L и связанные с следую­щими тождествами:

Эквациональный класс всех собственно n-значных алгебр Лу­касевича обозначим посредством Рn. Очевидно, что для поскольку в этом случае

Примером Рп является алгебра , если к ней добавим, сле­дующие операции:

Нетрудно вычислить, что число таких операций есть

поскольку такова мощность множества Sn для Остается показать, что n-значная импликация Лукасевича выразима в сигнатуре алгебры Рn:

.

Последняя формула опять же говорит о нетривиальности им­пликации Лукасевича →.

То, что операциивыразимы посредством исходных

операций n-значной логики Лукасевича ~х и х → у, следует из кри­терия Р. Мак-Нотона, тем не менее:

Р. Чиньоли дает аксиоматизацию пропози­циональной логики в сигнатуре алгебры Sn, т. е. на основе ин­туиционистской импликации

5.2. Логики Поста Рn

По аналогии с классической двузначной логикой многозначные ло­гики Поста Рn являются функционально полными. Этот важный факт является решающим при применении логик Поста в различ­ных технических приложениях. Этим также объясняется исключи­тельное развитие алгебр Поста. Особый интерес представляет взамоотношение конечнозначных логик Поста и логик Лукасевича. Именно относительно функциональных свойств Рn будут изучаться функциональные свойства логик Лукасевича

5.2.1. Матричные логики Рn

Многозначная логика строилась Постом [Post 1921] как обобщение двузначной классической логики, развитой А. Уайтхедом и Б. Расселом в «Principia Mathematical, где исходными логическими связками служат отрицание и дизъюнкция. В логике Поста исход­ными связками также являются отрицание и дизъюнкция и каждая пропозициональная переменная может принимать одно из п различных значений истинности: где п – натуральное число; t1 интерпретируется как «истина», tn — как «ложь». Однако мы_ предпочтем стандартное определение n-значной матрицы Поста которая задается следующим образом:

где

Vn есть множество

{n—1} — множество выделенных значений.