Дискретно-непрерывная математика (стр. 22 )

2) Хотя логика Р1 является паранепротиворечивой, т. е. закон Дунса Скота здесь не имеет места, но верифицируется формула Лукасевича

5

3) Пусть Т есть теория. Еслитогда формула А

должна быть атомарной формулой. Другими словами, противоре­чивость появляется в теориях, основанные на Р1, только на атомар­ном уровне;

4) Матричная логика Р1 является комбинацией двух трехзначных изоморфов С2, содержащихся в В3 (см. последний аб­зац в 3.5.4.1).

Наконец, отметим, что логики Р1 и PCont по функциональным свойствам существенно различны: как мы показали, логические связки Р1 выразимы в В3, а связки PCont выразимы в(см. [Kotas and da Costat 1978]).

Интересно, что В3 содержит еще одну паранепротиворечивую логику со связками как в Р1, и с отрицанием ~. Такая логика с одним выделенным значением впервые была рассмот­рена Мортенсеном под названием С0,2 [Mortensen 1989]. По­скольку правило МР здесь не сохраняет тавтологию, то в [Marcos 2005] эта логика рассматривается с двумя выделенными значения­ми, как и Р1. При этом приводится аксиоматизация новой логики опять же как расширение Сn и обозначается она как Р2. Заметим, что можно определить в Р2 как Здесь также доказывается, что Р2, как и Р1, является максимальной логикой и приводится их предикатная формулировка.

3.5.4.1. Параполные логики I1 и I2, дуальные к Р1 и Р2

В [Sette and Carnieli 1995] тщательно исследуется так называемая трехзначная параполная логика I1, дуальная к Р1, и названная ими слабой интуиционистской логикой, Показано, что она является максимальной в указанном выше смысле. Понятие «параполноты» встречается уже в обзоре [Arruda 1980] (см. также [Loparic and da Costa 1984] и является дуальным к понятию «паранепротиворечи-вости». Полной теорией логики L, называется такая теория T логики L, что для всякой формулы или Параполной тео-

рией логики L называется такая теория Т логики L, что Т не явля­ется полной теорией логики L и всякая полная теория логики L, включющая Т, является тривиальной. Параполной логикой называ­ется такая логика L, что существует параполная теория логики L.

Двухместные логические связки I1 суть не что иное, как внеш­ние логические связкиа связка отрицание есть внешнее отрицание Бочвара При этом берется одно выделенное значение. Посредством выразимы остальные связки, поэто­му они могут быть взяты в качестве исходных.

В [Marcos 2005] приводится матричная параполная логику I2, которая получается из I1 посредством замены отрицания на ~. Эта логика является параполной и максимальной. Однако заме­тим, что эта логика впервые была открыта [Попов 2002] под названием LAP. Здесь же она представлена в виде гильбертовского и секвенциального исчисления.

Обратим внимание на факт, что логики Р1 и I1 являются комбинацией двух изоморфовклассической логики С2, содержащихся в В3 (см. 3.3.1.1). В первом случае берут­ся двухместные связки изи отрицание из во втором случае берутся двухместные связки изи отрицание из

3.6. Штрих Шеффера для некоторых трехзначных логик

Вопрос о штрихе Шеффера еще раз показывает, насколько трех­значный случай существенно отличается от двузначного.

В [Шестаков 1964] по аналогий со стрелкой Пирса для С2 строится стрелка Пирса (антидизъюнкция) для К3:

Здесь показывается, что все сильные и все слабые в смысле Клини связки могут быть определены через

Для штрих Шеффера строится несколько сложнее и мы мо­жем извлечь его из работы Дж. Мак-Кинси [McKinsey 1936], где строится штрих Шеффера для

Таким образом, посредством можно определить связки

и наоборот, посредствомопределяется

При этом заметим, что, как и в предыдущих случаях, фор­мула, определяющая содержит не более двух различных переменных.

Другая ситуация имеет место для G3. Оказывается, что форму­лы, определяющей штрих Шеффера для G3 и содержащей не более двух различных переменных, не существует (см. [Кузнецов 1965]), Им же здесь представлено определение штриха Шеффера для G3, которое несколько упрощено в [Раца 1969]:

Удивительная ситуация возникает для В3. В [Шестаков 1959] исходные связки для В3 были сведены к двум: где

последняя есть штрих Шеффера (антиконъюнкция) для множества внутренних связок В3. Это множество обозначим посредством В0. В [Шестаков 1971] вводится штрих Шеффера

(а также стрелка Пирса) для внешних связок В3. Это множество обозначим посредством B1. Здесь подробно изучается логика B1, строятся ее различные нормальные формы и доказывается функ­циональная полнота. В этой работе заключает, что множество всех связок В3 есть объединение двух непересекающих­ся множеств В0 и В1. Отсюда следует, что для логики В3 штриха Шеффера не существует.

Проблема штриха Шеффера для различных п-значных логик будет рассмотрена в гл. 7.

3.7. Некоторые применения

Характерным примером применения трехзначной логики является ситуация, когда рассматриваются высказывания, в которых терми­ны не имеют денотатов [Strawson 1950]. Приписывание таким вы­сказываниям какого-то третьего истинностного значения указывает здесь не на то, что высказывание имеет промежуточное значение, а на то, что оно его вообще не имеет. Развитие такого подхода приводит к логикам с «истинностно-значными провалами» (truth-value gaps) [Fraassen 1966]. В этих логиках класс логиче­ских истин совпадает с классом тавтологий классической двузнач­ной логики С2, в то время как принцип бивалентности отбрасыва­ется. Эта семантика послужила инструментом для адекватной логической интерпретации аристотелевской проблемы будущей случайности [Fraassen 1966], [Seeskin 1971]. Таким образом, если у Лукасевича высказываниям, термины которых не имеют денотата (высказывания о будущих случайных событиях), приписывается промежуточное истинностное значение 1/2, то в семантике Фраассена таким высказываниям вообще ничего не приписывается, но тем не менее закон исключенного третьего для таких высказываний имеет место. Такая семантика получила название семантики супер­оценок.

Другим интересным применением трехзначной логики была попытка решить определенные логико-философские проблемы квантовой механики. Первая работа в этой области принадлежит 3. Завирскому [Zawirsjci 1934], видимо, оказавшему влияние на Г. Биркгофа и Дж. фон Неймана [Birkhoff and von Neumann 1936] при построении ими логики квантовой механики.

Большое внимание привлекли к себе работы Г. Рейхенбаха [Reichenbach 1944; 1951], где формулируется несколько трехзнач­ных логик. Г. Рейхенбах, как и Я. Лукасевич, считает третье истин­ностное значение промежуточным, но приписывается оно выска­зываниям, описывающим неопределенные ситуации (например, высказывание, говорящее о положении частицы и ее импульсе, имеет истинностное значение не определено). ейхенбаха о необходимости трехзначной логики для интерпретации квантовой механики была поддержана X. Патнэмом [Putnam 1957]. : -

В статье (1948 г.), а затем в книге П. Детуш-Феврие [Fevrier 1951] был предложен набросок трехзначной логикипод назва­нием «логика дополнительности». Здесь формулируется "теорема" о том, что современная физика требует логику с более чем двумя истинностными значениями и логика дополнительности является адекватной для квантовой теории. Критическая рецензия Дж. Мак-Кинси и П. Суппеса [McKinsey and Suppes 1954] интересна тем, что вообще затрагивает вопрос об отношении между логикой и физи­кой. Что касается упомянутой "теоремы", то ее аргументы не явля­ются завершенными, а новая логика не представлена в виде фор­мальной системы. Более того, пропозициональная логика должна быть расширена кванторами. Последний аргумент в качестве кри­тического выдвигался А. Чёрчем [Church 1937] относительно неди­стрибутивной логики Биркгофа и фон Неймана, а также К. Гемпелем [Hempel 1954] относительно трехзначной логики Рей­хенбаха. Интересно, что в [Da Costa and Krauze 2000] логика была представлена строго в виде трехзначной логики и рассмотре­на с двумя выделенными значениями как паранепротиворечивая логика