Дискретно-непрерывная математика (стр. 78 )

В статье [Tsuji 1998] был поставлен вопрос о достаточных и необходимых условиях для того, чтобы логика имела бивалентную семантику, и доказан ряд утверждений (см. также [Warning and Shramko 2008]). Наконец, в статье [Font 2009] расстав­лены все акценты и редукция Сушко в наиболее общей форме вы­глядит следующим образом.

Пусть X есть множество и пусть есть отно-

шение, где есть множество всех подмножеапв множества

X. Тогдаесть отногиение замыкания т. т.т., когда оно является двузначным.

Доказательство. Отношение замыкания удовлетворяет трем аксиомам Тарского (1) — (3) (см. выше раздел 4.2). Отношение является двузначным, если существует такое мно­жество функций что для произвольныхвы­полняется условие

(*)

Лего видеть, что любое отношение, удовлетворяющее (*), удовлетворяет также аксиомам Тарского (1) - (3). В обратную сто­рону следует из того (см, [Burris and Sankappanavar 1981]), что от­ношение замыкания определяется ассоциированным с ним семей­ством замкнутых подмножеств если то Если характеристическую функцию произвольного подмножества обозначим посредством тогда есть нуж­ное семейство функций, удовлетворяющее (*).

Как отмечается в [Font 2009], отношения замыкания и семан­тики Сушко представляют собой одно и то же. Отсюда и возни­кают трудности в понимании того, что представляет собой семан­тика Сушко, поскольку здесь оказывается, что семантика есть логика. Поэтому, продолжает Дж. Фонт, очень трудно принять би­валентную семантику Сушко действительно как семантику. Семан­тика на самом деле должна что-то говорить о логике и помогать решать внутренние проблемы логики, например, ее разрешимость или финитную аппроксимируемость, или наличие интерполяцион­ного свойства. Эту роль как раз выполняют матричная семантика, алгебраическая семантика, семантика Крипке и т. д.

Интересно, что многие авторы указывают на крайнюю некон­структивность бивалентной семантики и даже ее бесполезность, например, в [Avron 2009] для бесконечнозначных логик предлага­ется семантика недетереминированных матриц (введенная в [Av­ron and Lev 2005]), основанная на обобщенных матрицах Вуйцицкого (см. выше раздел 4.2). Поскольку эта семантика состоит из конечного семейство конечнозначных матриц, то отсюда следует разрешимость соответствующей логики. На самом деле, семантика, недетереминированных матриц является частным случаем семан­тики возможной переводимости (мы упоминали ее в разделе 8.6.3.1). Существенной чертой всех этих новых семантик, и в пер­вую очередь семантики Сушко, является то, что они не являются истинностно-функциональными, т. е. ослабляется принцип экстенсиональности (композиции). То, что сам этот принцип не является таким уж тривиальным, как кажется на первый взгляд, хорошо про­анализировано в [Marcos 2009], где показывается как ослабление принципа композиции приводит к желаемым семантикам. Важно то, что одна и та же логика может иметь как функционально-истинностную семантику, так и нефункционально-истинностную семантику и, таким образом, не логика является неистинностно-функциональной, а такова семантика этой логики.

В связи с тезисом Сушко обратимся к конкретизации систем с замыканием, предложенной и рассмотренной на­ми в разделе 7.2.1. Здесь X представляет собой множество п-значных функций и на этом множестве определяется оператор замыкания []. Известно, что существует взаимно-одназначное со­ответствие между отношениями замыкания, операторами замыка­ния и системами с замыканием. Оператор замыкания определяется посредством операции суперпопозици и если теперь представить логику в виде функциональной системы (Рп, С), то мы знаем, что уже на трехзначном уровне мощность множества замкнутых клас­сов континуальна. Поэтому ни о каком сведении многозначной ло­гики к двузначной не может быть и речи, поскольку в последней мощность множества замкнутых классов счетна.

Как отмечается в [Font 2009], один из способов понять различие между «алгебраическими значениями» и «логическими значениями» заключается в том, чтобы интерпретировать послед­ние как истинностные значения метатеории, в то время как пер­вые есть истинностные значения теории.

Трудности с интерпретацией самих истинностных значений и разделение значений на алгебраические и логические - все это при­вело к тому, чтобы использовать истинностные значения логических матриц в их собственном значении как степе­ни истинности, оставляя за скобками вопрос об их природе. Обыч­но отношение логического следования определяется как сохра­няющее истину от посылок к заключению, но теперь мы должны учитывать и другие истинностные значения, посредством введения множества выделенных значений D+ и множества антивыделенных значений D-, гдеи теперь при определении логического следования мы должны учитывать оба эти множества (см. [Malinowski 1994]). Обобщение этой идеи приводит к определению логического следования относительно каждого собственного подмножества V. Логико-математический аппарат для осуществления этой идеи известен — это обобщенные матрицы Вуйцицкого (см. выше раздел 4.2).

Пусть Fm есть множество формул пропозиционального языка, состоящего из счетного множества пропозициональных букв и конечного непустого множества финитарных связок С. N-значная

k-мерная матрица (k-матрица) есть структура

где V есть непустое множество мощности

каждое есть непустое собственное подмножество мно-

жества V, множества D; являются попарно различными и fc есть функция на V с той же самой арностью, как с. Множества Di назы­ваются выделенными множествами. Функция оценки v определяет­ся обычным образом.

Отношение логического следования на множестве Fm опреде­ляется следующим образом:

Тогда под многозначной логикой понимается семейство

где каждое характеризует логику Тарского (см. выше раздел 4.2).

( (см. [Wqjcicki 1988]) с обобщенной матрицей ассоцииру­ется единственное отношение логического следования:

)

Такой подход развит в [Warning and Shramko 2008], соответственно которому степени истинности в многознач­ных логиках предстают в наиболее общем виде как подмножества множества истинностных значений, а отношение логического сле­дования сохраняет эти степени истинности. Тогда множества Di, иг­рают роль «логических значений». Здесь интересной идеей является неразличение истинностных значений, если относительно их задается одно и то же отношение логического следования. На­пример, в классической логике можно определить логическое сле­дование дуальным образом как сохраняющее не истину, а ложь. При этом класс тавтологий остается неизменным. В таком случае, считают авторы, классическая логика является однозначной. Таким образом, истинностные значения различаются при их использова­нии при определении логического следования.

В [Font 2009] подобные подходы, идентифицирующие логиче­ские значения со степенями истинности и различающие истинност­ные значения в указанном выше смысле, считаются весьма плодо-

творными для понимания общей сути многозначной логики, дается обзор (§3) и высвечиваются проблемы.

( Именно в таком духе в [Font, Gil, Toirens and Verclu 2006] рассматривается ло­гика Лукасевича )

Однако стоит подчеркнуть, что в 70-е годы идею редукции не­классических логик, в том числе многозначных, к двузначной пы­тались воплотить многие авторы. Наиболее близкой к Сушко стала семантика оценок Н. да Косты для бесконечнозначных паранепротиворечивых логик, изложенная в разделе 8.6.3 (см. также [Kotas and da Costa 1980]). Логическая бивалентная семантика ста­ла главным семантическим инструментом для изучения «логик формальной противоречивости» (см. [Da Costa, Krause and Bueno 2007] и [Carnielli, Coniglio and Marcos 2007], где такая семантика названа «семантикой биоценок»).