Дискретно-непрерывная математика (стр. 61 )

Специальный интерес к si - логикам проявился в 50-е годы, ко­гда стали изучаться целые классы si - логик (см. [Umezava 1959]). Изучение способов рассуждения в некоторой выделенной логиче­ской системе (пусть даже такой, как классическая или интуициони­стская логика) отодвигается на второй план. А на первый план вы­двигается изучение класса логик с «хорошими» семантическими или синтаксическими свойствами. Например, выделяется какой-то интересный класс шкал Крипке. Естественно возникает вопрос, ка­кой класс логик моделируется этими шкалами? С другой стороны, имеется класс логик с хорошо определенным свойством, например, с дизъюнктивным свойством. Естественно возникает вопрос: име­ется ли для них полная по Крипке семантика?

В течение долгого времени оставалась надежда найти полное описание решетки si - логик - тогда можно было бы «обозреть» лю­бую логику и даже, может быть, представить их в виде исчисления. Все эти надежды были разрушены открытием [Янков 1968] континуального класса si - логик (т. е. мощность множества всех логик между Int и С2 континуальна), причем в нем имеются и логики, не являющиеся финитно-аппроксимируемыми и конечно аксиоматизируемыми. В свою очередь, в [Шехтман 1978]) была решена старая проблема и представлена конечно-аксиоматизируемая, но не являющаяся разрешимой логика. Более того, доказывает теорему о континуальности всяко­го интервала между Int и её собственным расширением [Кузнецов 1971]. Различные континуальные классы пропозициональных si - логик рассмотрены и М. Захарьящевым [Chagrov and Zakharyaschev 1993]. Оказалось, например, что имеется конти­нуум si - логик с дизюнктивным свойством и континуум si - логик без дизюнктивного свойства, причем не существует алгоритма, по ко­торому можно было бы определить, к какому из двух континуальных классов данная логика принадлежит. Понятно, что существует некоторая корреляция между неразрешимостью некоторого свой­ства и континуальностью множества логик с этим свойством. Ока­зывается, континуальность классов логик является не исключени­ем, а нормой.

Несколько иная ситуация сложилась относительно расшире­ний бесконечнозначной логики Лукасевича оуз [Rose 1953] показал, что мощность множества всех собственных расши­рений бесконечнозначной логики Лукасевича т. е. мощность множества всех логик между является счетной. При этом

доказательство существенно опирается на критерий Р. Мак-Нотона.

8.2.3.1. Логика Гёделя-Даммита

По-видимому, самой известной si - логикой (кроме самих Int и С2) является бесконечнозначная логика Гёделя-Даммита логиче­ская матрица которой получается из матрицы для Gn посредством введения бесконечного числа истинностных значений [0, 1] (ранее эта логика обозначалась посредством LC и называлась цепной (ли­нейной) логикой Даммита). Определение логических операций на этом множестве следующее: есть 1, если и у в остальных случаях;есть просто есть, соответственно, min и тах операции. {1} - множество выделенных значений. Даммит показал [Dummett 1959], что множество тавтологий аксио­матизируется аксиомами Int, расширенной аксиомой линейности

Здесь же показано, что характеризуется пересечением мно­жества тавтологий всех Gn.

Заметим, что теперь в этой логике дизъюнкция определима че­рез импликацию и конъюнкцию:

В [Нот 1969] дано алгебраическое доказательство полноты ло­гики где вводится понятие L-алгебры: алгебра Гейтинга (см. раздел 4.4.2) плюс тождество

( В связи с развитием нечетких логик, основанных на t-нормах (см. ниже раздел 9.3.2), такие алгебры стали называться алгебрами Гёделя (G-алгебры).)

Эта логика привлекла к себе большое внимание. В [Visser 1982] она используется в исследованиях доказуемостной логики арифметики Гейтинга; в [Реагсе 1999] она применяется для анализа выводов расширенной логики программирования; в [Hdjek 1998] она признана одной из трех наиболее важных формализации нечет­кой логики (см. следующую главу).

Первая секвенциальная формулировка a с устранимым сече­нием представлена в [Sonobe 1975] (см. также [Смирнов 1983]). Она была улучшена в [Avelone, Ferrari and Miglioli 1999] и [Dyckhoff 1999], где также представлены версии с устранением сокращения. Более подходящая формулировка дана А. Авроном [Avron 1991], которая имеет те же самые логические правила, что и стандартная формулировка Int. Однако в этой работе правила не являются об­ратимыми (invertible), что затрудняет поиск доказательств. Наконец в [Avron andKvnilcowska 2001] представлена система, основанная на обратимых двухпосылочных правилах, наиболее приспособленная для поиска доказательств. То же самое имеет место и для конечно-значных логик Гёделя Gn,

Впервые предикатная логика была аксиоматизирована в

виде секвенциального исчисления в [Takeuti and Titani 1984] (без ссылки на статью Даммита). Основной задачей было построение интуиционистской нечеткой теории множеств. В [Avellone et ah 1999] представлены аналитические таблицы для первопорядковой

В [Corsi 1992] для доказана полнота по Крипке относи-

тельно линейных шкал Крипке. В [Skwortsov 2005] дано значитель­ное упрощение этого доказательства и рассмотрены некоторые не полные по Крипке расширения Наконец, в [Baaz, Preining and

Zach 2007] дается аксиоматизация целого семейства предикатных логик Гёделя-Даммита (в зависимости от выбора множества ис­тинностных значений), а также различных их фрагментов.

8.3. Синтез логик и

Представляет интерес сравнение двух хорошо известных бесконеч-нозначных логик: В обеих этих логиках закон исключен-

ного третьего не имеет места. Их импликативные фрагменты

содержат ВСК-логику (см. выше). Более точно, обе логики являют­ся расширением «базисной логики» BL (см. следующую главу). С алгебраической точки зрения обе они имеют дистрибутивную ре­шеточную структуру и являются расширением BL-алгебры,

В разделе (5.1.7) мы сравнивали между собой конечнозначные логики Лукасевича и Гёделя Gn и показали, что операции из Gn выразимы посредством операций из для любого конечного п. Но для бесконечнозначного случая это не проходит, поскольку, ис­пользуя критерий Р. Мак-Нотона [McNaughton 1951] об определи­мости операций в можно показать, что ни операция ни опе­рация не определимы в

Теперь рассмотрим вопрос о синтезе логических и алгебраиче­ских свойств этих различных логик.

8.3.1. Симметрический моноид Рейтинга SHM и алгебра Вайсберга-Гейтинга WH

В [Васюков и Карпенко 1987] вводится понятие симметрического моноида Рейтинга который представляет

собой алгебру типа (2,2,1,0,0) со следующей аксиоматикой.

А1. Аксиомы позитивной импликационной алгебры [Rasiowa 1974]:

А.2. Аксиомы абелева моноида (см. выше

аксиоматизацию MV-алгебры):

A3. Аксиомы для инволюции ~:

А4. Аксиомы связи:

Понятие симметрического моноида Гейтинга обязано своим существованием гипотезы о том, что импликация Лукасевича → может быть определена таким образом, чтобы свя­зать между собой логику с логикой