Дискретно-непрерывная математика (стр. 72 )

По аналогии с этим определяются не­четкие подмножества типа 3, 4 и т. д.

Подчеркнем сразу, что сами нечеткие множества типа 2 явля­ются трехмерными образованиями, а алгебра представляет собой довольно-таки сложный объект. Именно нечеткие подмно­жества типа 2, т. е. элементы множества и выступают в качестве истинностных значений в нечеткозначной логике, понятие которой было введено в 1975 (см. [Bellman and Zadeh 1977]). Но для того чтобы строить какую-то нечеткозначную логику, надо вы­яснить хотя бы основные свойства структуры

Как уже говорилось, структурой интервала [0,1] является ал­гебра Клини. Возникает следующий вопрос: какова решеточная структура множества Этому вопросу посвящена работа

[Mizumoto and Tanaka 1976]. При определении операций на элемен­тах множества применяется принцип обобщения, введен­ный Л. Заде [Заде 1976], который носит эвристический характер и позволяет расширить область определения исходного отображения f на класс нечетких множеств.

Пусть и пусть * есть бинарная операция, опре-

деленная в [0,1]. Тогда для операция *, может быть

расширена на нечеткие множества А и В посредством принципа обобщения следующим бразом:

Отсюда расширенные операции через их

функции принадлежности запишем так:

Однако оказалось, что отличия от обычной теории нечетких множеств, т. е. от теории нечетких множеств типа 1, весьма сущест­венны: имеет место квази-решетка с законами де Моргана, т. е. нет поглощения (IV) и дистрибутивности (V) и, конечно, законов (В1) и (В2). Не выполняются также тождества (X), но имеют место тож­дества (IX) (см. выше раздел 4.4)

( В [Kamik and Mendel 1998] результаты этой работы расширены и представлен практически применимый алгоритм для выполнения объединения, пересечения и дополнения нечетких множеств типа 2.)

В [Nieminen 1977] проведен бо­лее детальный анализ нечеткой алгебры типа 2. Тщательное иссле­дование этой алгебраической структуры, с использованием стандартной математической нотации, проведено в [Walker С. and Walker E. 2005]. Особое внимание уделено подалгебрам этой алгеб­ры, имеющим интересные приложения. Здесь устанавливаются не­которые, критерии для этих подалгебр быть решетками, дистрибу­тивными решетками, алгебрами Клини, алгебрами Де Моргана и т. д. См. также обзор данной тематики в [Walker С. and Walker E. 2008].

9.3.1.1. Ограничения и упрощения

Отсутствие законов дистрибутивности и поглощения очень затруд­няет вычисление операций на множестве Поэтому исполь­зуются различные конструкции, упрощающие технический аппарат нечетких множеств типа 2. Рассмотрим некоторые из них.

А. Наибольшее распространение получили интервалъно-значные нечеткие множества (IVFS), которые появились у разных авторов под разными названиями в одном и том же 1975 г., в том числе и в работе Л. Заде [Zadeh 1975]. Интересно, что IVFS переот­крывались и позже.

Исходная идея заключается в том, что значениями функции принадлежности f являются не подмножества из [0,1], а замкнутые подинтервалы в [0. 1], т. е. отображения есть IVFS. То-

гда алгебрасостоит из пар (а, b) таких, что и соот-

ветствующих покомпонентных операций. Фундаментальные свой­ства этой алгебры исследованы в [Gehrke, Walker С. and Walker E. 1996], где показано, что она представляет собой алгебру Де Морга­на.

IVFS нашли исключительное развитие и применение. По крайней мере, в монографии [Mendel 2001] особое внимание уделя­ется IVFS, где подчеркивается, что нет никаких разумных основа­ний не выбрать их. IVFS и основанным на них системам посвящена статья [Mendel, John and Liu 2006].

В. Очень содержательным оказался другой подход к модели­рованию нечеткости, когда стандартной теории нечетких множеств оказывается недостаточно. Основная идея заключается в том, чтобы использовать сразу пару функций принадлежности обозначенную посредством IF, где есть степень принадлежности х в IF и есть степень непринадлежности этого элемента. При этом функции удовлетворяют усло­вию

Такая конструкция впервые была предложена в 1983 г. К. Атанассовым (см, [Atanassov 1986] и его монографию [Atanassov 1999]) и названа интуиционистскими нечеткими множествами (IFS). В силу простоты и удобства применения IFS привлекла к се­бе большое внимание и уже через 20 лет список литературы насчи­тывал более 400 публикаций (см. обзор литературы по IVFS и IFS в [Nikolova М, NikolovN., Cornells andDeschrijver 2002]).

Однако, и это было уже отмечено самим Атанассовым и дру­гими, IFS-конструкция изоморфна IVFS-конструкции. Использова­ние инволютивного отрицания, действующего на пару функций формально коллапсирует IFS-теорию в IVFS-теорию. В действительности, условие (I) всегда гарантирует суще­ствование интервала который можно иден­тифицировать с соответствующим интервалом в IVFS-теории. К тому же IFS-теория является специальным случаем L-нечетких множеств в смысле Гогена [Goguen 1967].

Но в итоге все это ставит очень серьезные проблемы "относи­тельно названия «интуиционистские нечеткие множества» и тем

более относительно названия «интуиционистская нечеткая логи­ка». Для логиков создавшееся положение оказалось совершенно неприемлемым, чем и была вызвана статья ведущих специалистов [Dubous, Gottwald, Hdjek, Kacprzyk and Prade 2005].

Здесь отмечается, что в интуиционистской нечеткой теории множеств, основанной на интуиционистской логике Int (см. выше раздел 8.2.2), не имеет места инволютивный закон снятия двойного отрицания, к тому же в Int имеет место закон непротиворечия, ко­торого нет в IFS. Добавим, что в Int, как уже говорилось, не имеет места один из законов Де Моргана, в то время как алгебраи­ческой структурой IFS является именно алгебра Де Моргана. Ста­тья носит весьма корректный характер, отмечаются преимущества IFS при интуитивной интерпретации и применении, и предлагается, совершенно справедливо, название IFS переименовать в «биполяр­ные нечеткие множества».

С. Если же все-таки отдается предпочтение нечетким множе­ствам типа 2, то обычно в качестве истинностных значений для так называемой нечеткозначной логики используются не просто эле­менты множества а так называемые нечеткие числа [Bellman and Zadeh 1977] (например, число «чуть больше 7»), т. е. элементы из но с дополнительными условиями:

Как следует из [Mizunioto and Tanaka 1976], алгеброй нечеткой теории множеств типа 2 с условием нормальности является также деморгановская недистрибутивная квази-решетка, но в которой выполняются условия (IX) и (X). Если же добавить условие выпук­лости, то алгеброй нормальных выпуклых чисел является алгебра Де Моргана (см. также [Walker С. and Walker E. 2005]).

9.3.1.2. Иерархия минимальных моделей для нечетких алгебр типа 2

Обратим внимание, что открытие в [Mizumoto and Tanaka 1976] то­го факта, что расширенные операции max и min на элементах мно­жества образуют квази-решетку, представляет собой осо­бый интерес уже потому, что логики со структурой квази-решетки (например, трехзначная логика Бочвара В3) получили широкое рас­пространение. В3 выполняет все условия для нечеткой алгебры ти­па 2, но кроме этого выполняются законы дистрибутивности. По­этому представляет интерес матрица VII, которая появилась в результате классификации трехзначных логик значения (см. [Финн, Аншаков, Григолия жЗабеоюайло 1980]):

Эти операции образуют деморгановскую квази-решетку без законов дистрибутивности, здесь выполняется IХ(b), но не выпол­няется IХ(а).

В {Карпенко и Шалак 1997] показано (с помощью компьютер­ной программы), что не существует трехзначной матрицы, в точно­сти выполняющей все условия из [Mizumoto and Tanaka 1976] для нечеткой алгебры типа 2. Однако найдены четыре пары подходя­щих четырехзначных матриц, в которых две трехзначные подмат­рицы со значениями в точности моделируют слабые операции Клини (или внутренние операции Бочвара — см. выше раздел 3). Таким образом, во всех полученных четырехзнач­ных матрицах обобщаются эти операции. Из этих четырех пар мат­риц выберем ту, в которой операции на множестве истинно­стных значений есть min и max соответственно. Рассмотрим эти истинностные таблицы: