Дискретно-непрерывная математика (стр. 18 )

Так как в К3 нет тавтологий, то логику К3 удобно представлять в терминах отношения следования. Естественное обобщение клас-

сического определения логического следования (см. 1.4) выглядит следующим образом: высказывание В логически следует из выска­зывания А т. т.т., когда всегда, если А принимает выделенное зна­чение, то В также принимает выделенное значение. Пусть D есть множество выделенных значений. Таким образом, данное логиче­ское следование сохраняет D и обозначается посредствомВ литературе встречается также другое определение логического сле­дования, названного компаративным (comparative) и которое обо­значается посредством высказывание В логически следует из высказывания А т. т.т., когда истинностное значение высказыва­ния В не ниже, чем. значение высказывания А. Аксиоматизация для К3 в виде исчисления секвенций дана в [Cleave 1974], аксиома­тизация для К3 дана в [Urquhart 1986]. Как отмечается в [Bendova 2005], оба отношения логического следования равнообъемны для трехзначной логики Рейтинга G3, поскольку G3 имеет классическую теорему дедукции. Развитие этой темы, а именно условия эквивалентности для четырехзначной логики Белнапа В4 см. ниже в разделе 5.4.2.

3.4.2. Слабая логика Клини

Другим примером регулярных таблиц (как самых слабых) являются истинностные таблицы, которые получаются из классических дву­значных таблиц путем заполнения символом 1/2 строки и столбца, озаглавленных символом 1/2. Эти таблицы есть в точности истинно­стные таблицы для внутренних связок логики Бочвара В3 (см. 3.3). Эти связки Клини называет слабыми (weak) связками. Трехзначную логику со слабыми логическими связками обозначим посредством

Легко видеть, что в , как и в К3, нет тавтологий при выде­ленном значении 1, а при двух выделенных значениях (как и К3) является обобщенным изоморфом С2.

Казалось бы, ничего интересного: сильная логика Клини К3 есть фрагмент трехзначной логики Лукасевича а слабая логика Клини есть фрагмент трехзначной логики Бочвара В3. Но впер­вые логики К3 ирассмотрены в их самостоятельном значении, особенно первая.

Ситуация резко меняется, если мы заинтересуемся вопросом о существовании других регулярных трехзначных логик Клини. Впервые на такую возможность указал М. Фитинг [Fitting 1992].

3.4.3. Регулярность и монотонность

В соответствии с данным Клини описанием регулярности можно дать следующее определение этого свойства. Произвольная пропо­зициональная связка (обозначим ее •) является регулярной, если для всякого α из множества истинностных значений выпол-

няются следующие условия:

Сильные и слабые связки Клини являются регулярными в этом смысле. Соответственно многозначная логика регулярна, если все ее связки регулярны в смысле Клини.

В литературе получило широкое освещение такое свойство трехзначных логик, как монотонность. Так, свойство мо­нотонности сильных трехзначных связок логики Клини К3 исполь­зовано Крипке [Кпрке 1975] при построении новой теории истин­ности. Строгое математическое определение монотонности выглядит следующим образом:

Пусть F — функция, где п - натуральное число и — п-я декартова степень множества {1,0,1/2}. Функция F называется трехзначной монотопной относительно данного частичного порядка ≤ на множестве т. т.т., когда

для каждого из верно следующее: если то

Логика называется трехзначной монотонной относительно данного частичного порядка нат. т.т., когда все ее функции являются монотонными относительно данного частичного по­рядка.

Отношение ≤ на упорядоченных двойках устанавливается с учетом заданного порядка между тремя значениями Например, принято считать, что в логике Лукасевича между тремя

истинностными значениями существует следующее отношение по­рядка:

Иногда предполагается, вслед за Клини, что третье значение 1/2 принципиально неравноправно с двумя классическими 1 и 0, по­скольку оно не столько несет какую-либо информацию, сколько свидетельствует о ее отсутствии. Поэтому постулируется следую­щее отношение порядка на множестве (см. [Fitting 1992]):

То естьи при этом 1 и 0 несравнимы. Мы будем

придерживаться, вслед за Фиттингом, следующего отношения по­рядка

Этот порядок выбран с целью решения задачи Фиттинга [Fit­ting- 1994] о нахождении всех монотонных регулярных нормальных логик, промежуточных между сильной и слабой логиками Клини.

В [Комендантская 2009] доказано, что при так заданном по­рядке класс монотонных трехзначных логик совпадает с классом регулярных трехзначных логик и таких логик всего 4:

3.4.4. Промежуточная логика Клини (логика Lisp)

В [Fitting 1994] описывается регулярная логика, которая является промежуточной между Кз и

Такая промежуточная логика была названа Lisp. М. Фиттинг следующим образом описывает логику Lisp: допустим, нам необ­ходимо оценить выражение это необходимо делать последо­вательно, скажем слева направо, так что предложение р мы оцени­ваем первым. Если р приписано значение «ложь», то работа по приписыванию значений останавливается и всему выражению при­писывается значение «ложь». Если p интерпретируется как «исти­на», то далее проводится приписывание значения q, и значение q становится значением всего выражения Если р «не определе­но» (1/2), то всему выражению приписывается значение 1/2, вне за­висимости от того, какого значение q. Это ассиметричная или по-зиционная логика. Например, если р — «ложно», a q — «не опреде­лено», то выражение будет ложным, а примет значение 1/2 т. е. логическая связка (а также ) некоммутативна.

С. Клини в своей книге [Клини 1973] приводит лингвистический пример не­коммутативной конъюнкции: «Хотя в исчислении высказываний равно­сильно фразы "У Джейн родился ребенок и она вышла замуж" и "Джейн вышла замуж и у нее родился ребенок" будут пониматься знакомыми Джейн по-разному». Далее Клини отмечает, что подобные затруднения в трактовке классической конъюнкции возникают при анализе причинно-следственных или временных высказываний.

Связки логики Lisp, условимся обозначать ее как могут

быть представлены следующим образом (см. \Lvkyanowskctya 2003]):

Эта логика является регулярной в смысле Клини и монотонной в смысле (*).

3.4.4.1. Промежуточная логика Клини,(логика Twin Lisp)

Оказывается, имеется еще одна регулярная логика Клини, которая в [Lukyanowskaya 2003] обозначается посредством