Дискретно-непрерывная математика (стр. 36 )

Bm-алгебр. К тому же подчеркнем, что в основе этих алгебр лежит квазирешеточная структура.

Обобщение на n-значный случай трехзначной паранепротиворечивой логики PCont имеется в [Kotas and da Costa 1978]. Дела­ется это следующим образом. К пропозициональному языку п-значной логики Лукасевича добавляется новая унарная связка

ТогдаПусть в матрице для множество вы-

деленных значений есть {1, 1/2}. Тогда получаем PCont.

Обобщение трехзначной логики Арруды VI (см. выше раздел 3.5.4) имеется в [Tuziak 1997] и обобщение логики Сетте Р1 имеется в [Fernandez and Coniglio 2003].

5.4. Четырехзначные логики

В последние годы наблюдается повышенный интерес к четырех­значным логикам. В статье [Arieli and Avron 1998] очень высоко оценивается статус этих логик и им отдается предпочтение по сравнению с трехзначными логиками. Отмечается, что обычно бы­вает достаточно четырех истинностных значений. См. также [Bimbo and Dunn 2001], где. предпочтение отдается четырехзнач­ным семантикам вместо двузначной.

5.4.1. Вводные замечания

Как и в случае с трехзначной логикой, истоки которой обнаруживаются в древнегреческой философии, начиная с Аристотеля, так и элементы четырехзначной логики можно обна­ружить в классической индийской логике, представленной Санджайя, работавшем в VI в до н. э. См. [Dunn 2000], где дается ссылка на специальную работу об этом [Raju 1954].

Несколько неожиданным оказался следующий факт, на кото­рый обратил внимание автора [Бахтияров 2003]: «В алгебре Буля, как подчеркивал Р. Фейс на столетии его "За­конов мысли", использовалось 4 значения, причем в соответствии с правилами алгебры 1/0 являлось бесконечным, 0/0 неопределен­ным, 0/1 = 0 ложным, 1/1 = 1 истинным [Feys 1955]».

В [Lewis and Langford 1932] при исследовании модальных логик

S1 — S5 было выделено пять групп четырехзначных матриц, ко­торые различались определением оператора необходимости Особый интерес представляют группы II и III. Связки импликации и отрицания одинаковы для всех групп матриц (см. соответст­венно связкив разделе 4.3.1), а операторы опре­деляются следующим образом:

В [Zeman 1971] было доказано, что матрица со связками и

является характеристической для модальной логики К4 Собо-чиньского [Sobocinski 1964], которую будем обозначать посредством K4(S) и которая есть где S4.4 есть

. Модальную логику V2, для которой характери­стической матрицей является матрица со связками мы рассмотрим в разделе 5.4.2.1.

Заметим, что из булева множества истинностных значений {1, 0} (или {Т, F}) можно двумя способами образовать четырех-

элементное множество истинностных значений: 1) взять декартово произведение исходного множества; 2) образовать множество всех подмножеств исходного множества. Первый способ лежит в основе построения четырехзначной -модальной логики Лукасевича [Lukasiewicz 1953], второй первоначально связан с четырехзначной логикой Белнапа DM4 [Belnap 1977; 1977].

5.4.2. -модальиая логика Лукасевича

Начиная со статьи [Lukasiewicz 1953] (см. также книгу [Лукасевич 1959]), Я. Лукасевич полностью отвергает модальную логику (а значит и саму и вообще логики и конструирует новую мо­дальную логику, которую называет -модальной логикой. Кратко проанализируем еще одну попытку Лукасевича содержательно и формально непротиворечивым образом опровергнуть доктрину ло­гического фатализма.

В новых работах Лукасевича нет никаких упоминаний о тех возражениях, которые были адресованы Однако обсуждение формулкоторые не являются законами (и

никакой другой многозначной логики видимо, не прошло мимо Лукасевича, о чем говорит его следующее заявление: «Я стою на той точке зрения, что в любой модальной логике должно быть со­хранено классическое исчисление предложений. До сих пор это ис­числение продемонстрировало свою надежность и полезность, и оно не должно быть отвергнуто без достаточно веских оснований» [Лукасевич 1959]. Приняв этот общеметодологический прин­цип, Лукасевич формулирует следующие две проблемы, имеющие глубокое философское содержание, которые не могут быть решены средствами модальной логики

Во-первых, это принцип необходимости, на котором основывает свой фаталистический аргумент Аристотель, принимающий посылку (см. выше раздел 2.4). Поскольку в двузначной

логике любое высказывание либо истинно, либо ложно, то, указы­вается в [Лукасевич 1959], выражение «истинно, что р» экви­валентно «р» (конвенция Тарского). В итоге получаем выражение Но, замечает далее Лукасевич, эта формула не может быть принята ни в одной логической системе, так как следствием ее является разрушение пропозициональной модальной логики. С другой стороны, если принять формализацию этого принципа в ви­де так называемого правила Гёделя для модальных льюисовских логик (A/NA), то получаем весьма неприемлемые следствия (см. в [Лукасевич 1959]). Поэтому Лукасевич приходит к выво­ду, что ни одно аподиктическое высказывание, т. е. высказывание вида N(p), не может быть истинным. В этом заключается первая проблема, которую должна решить новая модальная логика.

Однако с этим надо увязать вторую проблему, которая не мо­жет быть решена в и которая непосредственно связана с пробле­мой логического статуса высказываний о будущих случайных со­бытиях. Лукасевич рассуждает следующим образом: «Если истина заключается в соответствии мысли с действительностью, то пред­ложение "морское сражение состоится завтра" сегодня не истинно и не ложно... А это приводит к заключению, что на сегодня нет ни необходимости, ни возможности того, что завтра будет морское сражение, - иными словами, что предложение "Возможно, что зав­тра будет морское сражение" и "Возможно, что завтра не будет морского сражения" сегодня оба истинны, и это будущее событие является случайным» [Лукасевич 1959]. Следовательно, в системе модальной логики должны быть истинными некоторые случайные высказывания. Однако средства не позволяют пред­ставить конкретные виды таких случайных высказываний, что яв­ляется, по мнению Луасевича, следствием ограниченности опреде­ления в этой системе связкиТаким образом, главной проблемой для Лукасевича является соответствующее переопределение мо­дальной связки возможности и затем через нее определение подхо­дящих связок необходимости и случайности.

Все эти проблемы решает четырехзначная -модальная логика Лукасевича. Беря прямое произведение матрицы классической пропозициональной логики на саму себя, Лукасевич получает мат­рицу где указанные опера­ции определяются покомпонентно (см. выше раздел 4.3.1). Как там подчеркивалось, она является характеристической для класси­ческой логики С2. Таким образом, все законы классической логики, в том числе будут иметь место в новой логике.

Поскольку теперь имеются два истинностных значения, обо­значающих "возможность" (это "b" и "п"), то Лукасевич строит также два модальных оператора возможности: Мх и Wx таким об­разом, чтобы посредством их, определив обычным образом две связки необходимости: N1x и N2x решить проблему истинности аподиктических высказываний.