Дискретно-непрерывная математика (стр. 29 )

псевдодополнением элемента х относительно у, если z — наиболь­ший элемент со свойством Относительное псевдодо­полнение обозначается посредством Решетка L называется

импликативной (см. [Расёва и Сыкорский 1972,), если существует для всех элементов Заметим, что

решетка с => обладает наибольшим элементом 1, так как для любого и, главное, решетка с является

дистрибутивной. Каждая импликативная решетка с наименьшим элементом 0 есть алгебра Рейтинга'. Или, по-другому, алгебры Рейтинга являются решетками с 0, резидуалъными относительно пересечения [Blyth and Janowith 1972], где резидуальными относительно является как раз операция , определяемая следующим образом:

Как эквациональный класс есть алгебра

Рейтинга, если есть ограниченная дистрибутивная

решетка и для бинарной операции выполняются следующие три тождества [Эсакиа 1985]:

Заметим, что в алгебре Рейтинга имеет местоЕсли к

алгебре Рейтинга добавить, например, закон

исключенного третьего или закон двойного отрицания

то получим аксиоматизацию булевой алгебры.

Дистрибутивные решетки с операцией (но в других обо­значениях), а также с дуальной к ней операцией впервые иссле­довались Т. Скулемом, начиная с 1919 г. (см. [Карри 1969]). Такие алгебры X. Карри называет скулемовскими структурами.

Операция есть бинарная операция, дуальная к , т. е. элемент является наименьшим элементом со свойством Операция в [Расёва и Сикорский 1972]

называется «псевдоразностью». В [McKinsey and Tarski 1946] алгебра ..... изучается под названием брауэровой

алгебры. Или, по-другому, алгебры Брауэра являются решетками с 1, резидуальными относительно объединения:

Заметим, что в алгебре Брауэра имеет местогде

унарная операция называется дуальным псевдодополнением.

Алгебра называется дважды (double)

гейтинговой алгеброй, или дважды брауэровой алгеброй, или полу­булевой алгеброй (под этим названием она аксиоматизируется в работе [Rauszer 1974]), или алгеброй Скулема [Григолия 1987], если есть алгебра Рейтинга, а

есть алгебра Брауэра. Дважды алгебры были введены, чтобы восстановить принцип дуальности булевой алгебры. Алгебраназывается симметрической

алгеброй Рейтинга [Monteiro A. 1969], если есть

алгебра Рейтинга иесть алгебра де Моргана.

Операция ~ на решетке L позволяет рассмотреть принцип дуаль­ности: каждое утверждение, доказанное для остается истинным, если заменить соответственно наБолее того, здесь Таким образом, симметрическая алгебра Гейтинга есть дважды алгебра Рейтинга.

Алгебра называется р-алгеброй, если

есть ограниченная (дистрибутивная) решетка и для любогоэлемент является псевдодополнением элемента х,

т. е.т. т.т., когда Алгебра

называется дважды р-алгеброй, если есть

р-алгебра и — дуальная р-алгебра, где для любого

элемент является дуальным псевдодополнением элемента х, т. е. т. т.т., когда

Введем новые понятия.

Непустое множество назовем промежуточной решеткой, если выполняются тождества (I), (III), (IV); и ограниченной промежуточной решеткой, если выполняются тожества (I), (III), (IV), (IX), (X), причем в Х(а) переставлены местами дизъюнктивные члены, а в Х(b) переставлены местами конъюнктивные члены.

Некоммутативной алгеброй Клини назовем алгебру где — бинарные операции на L, а

~ —унарная операция на L, удовлетворяющие условиям (I), (III), (IV) -(VIII), тождество (X) и закон Клини изменены:

(левая единица относительно дизъюнкции) (левый ноль относительно конъюнкции)

(переставленный закон Клини),

Алгебра называется промежуточной

р-алгеброй, если есть ограниченная промежуточная

решетка и для любого элемент является псевдо-

дополнением элемента х. Алгебра называется

дважды промежуточной р-алгеброй, еслиесть

промежуточная р-алгебра и — дуальная

промежуточная р-алгебра, где для любого элемент

является дуальным псевдодополнением элемента х.

Алгебра называется слабой р-алгеброй, если

есть ограниченная квази-pешетка, снабженная операцией псевдодополнения Алгебра

называется дважды слабой р-алгеброй, если -

дуальная промежуточная р-алгебра, снабженная операцией дуального псевдодополнения.

4.5. Алгебраическая семантика

Алгебраическое рассмотрение многозначных логик служит полезным инструментом при выяснении структуры и взаимоотношения последних. В общем случае существенным является вопрос о построении алгебраической семантики, под которой понимается класс всех моделей некоторой алгебры логики L.

В алгебраизации логики особую роль сыграла идея А. Линденбаума (1926/27), который предложил рассматривать формализованный пропозициональный язык как универсальную алгебру формул с операциями,