Дискретно-непрерывная математика (стр. 85 )

Кроме законов (1.9) - (1.15) важное значение в БЛ имеют следующие очевидные законы:

- закон оценки величины логического выражения

(1.16)

закон сокращения конъюнкции

(1.17)

если при некотором

- закон сокращения дизъюнкции

(1.18)

если при некотором

В частности, из (1.16), (1.17) следует, что

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

Следует отметить, что некоторые законы Б Л имеют более сложную форму, чем соответствующие им законы двузначной логики. Например, в двузначной логике справедливы законы:

— исключенного третьего

(1.23)

— противоречия

(1.24)

— ортогональности

(1.25)

В то же время непосредственно из определений (1.6) —1.8) легко получить соответствующие (1.23), (1.24) законы БЛ:

(1.26)

(1.27)

Здесь и ниже |D| - абсолютная величина числа D. Далее из соотношения (1.12) следует

что вместе с (1.26) дает соответствующий (1.25) закон БЛ

(1.28)

Хорошо видно, что законы БЛ (1.26) — (1.28) сложнее соответствующих законов двузначной логики (1.23) — (1.25). Относительно большая слож­ность ряда законов БЛ, включающих операцию отрицания, ведет к тому, что логические выражения БЛ часто не удается преобразовать к такому простому виду, как это бывает в двузначном случае. Эта сложность — неизбежная плата за получаемую возможность изучения с помощью БЛ более сложных процессов, могущих находиться в бесконечном множестве состояний.

Часто возникает необходимость приведения к наиболее простому виду выражений, содержащих, помимо операций БЛ, также и обычные алгеб­раические операции. Комбинирование этих двух классов операций зако­номерно, поскольку и те и другие оперируют с непрерывными величинами и формируют функции, принимающие непрерывные значения.

Эквивалентные преобразования логико-алгебраических выражений с целью их упрощения базируются на возможности представления операций Б Л через обычные алгебраические операции. Для логической операции отрицания такое представление содержится уже в ее определении (1.8). Что касается операций конъюнкции и дизъюнкции, то они представляются в терминах алгебраических операций следующим образом) :

(1.29) (1.30)

Здесь 1 ( •) - единичная функция, определяемая равенством

(1.31)

( B этом параграфе знак конъюнкции БЛ нигде не опущен, чтобы не спутать эту опграцию с алгебраическим умножением.)

Справедливость соотношений (1.29) и (1.30) легко проверить, рассмот­рев три возможных случая: Сама единичная функция может быть выражена через другие алгебраические операции или в терми­нах БЛ

(1.32)

Представление многоместных операций БЛ через алгебраические операции можно получить, используя последовательное объединение переменных по два и применяя на каждом шаге формулы (1.29) и (1.30). Однако можно и сразу записать общее представление многоместной конъюнкции и дизъюнкции БЛ, аналогичное представлению соответствующих двуместных операций, если воспользоваться единичными функциями

(1.33)

(1.34)

Справедливость представления (1.33) следует из того, что функция является индикатором минимальности ai, т. е.

(1.35)

Аналогично, справедливость представления (1.34) следует из того, что функция является индикатором максимальности ai, т. е.

(1.36)

Формулы (1.35), (1.36) и вытекающие из них представления (1.33),

(1.34) предполагают наличие в числовом множестве ровно одного максимального и ровно одного минимального числа аi.

Помимо приведенных соотношений между логическими и алгебраичес­кими операциями, на практике могут быть полезны различные другие законы, которым подчинены логико-алгебраические выражения. При соче­тании логических операций с алгебраическим суммированием действует распределительный закон, имеющий ряд различных форм:

(1.37)

(1.38)

(1.39)

(1.40) (1.41) (1.42)

(1.43)

(1.44)

При комбинировании логических операций с арифметическим умноже­нием (переменные а, b, с, d положительны) также справедлив распреде­лительный закон, типичные формы которого:

(1.45)

(1.46)

(1.47)

(1.48)

(1.49) (1.50) (1.51) (1.52)

При сочетании логических операций с алгебраическим умножением (пе­ременные а, b, с положительные, отрицательные и нули) распределитель­ный закон выражается в разных формах в зависимости от знака множи­теля, что можно записать в единой форме с помощью единичной функции:

(1.53)

(1.54)

И некоторых случаях оказываются полезными следующие формулы упрощения специальных логико-алгебраических выражений:

(1.55)

(1.56)

(1.57) (1.58) (1.59) (1.60)

Приведенные формулы (1.37) - (1.60) можно проверить, перебрав все возможные варианты упорядочения переменных (см. § 1.3). Все эти фор­мулы выражают интуитивно хорошо ощущаемые факты. Например, фор­мула (1.37) показывает, что сумма максимума двух чисел с третьим чис­лом равна максимальной из почленных сумм.

Предыдущие правила преобразования относились к логико-алгебраи­ческим выражениям, не содержащим операции отрицания БЛ. Приведем теперь важнейшее правило преобразования выражений, содержащих отри­цание

(1.61)

Доказательство соотношения (1.61) получается немедленно с помощью определения операции. отрицания (1.8).

1.4. Канонические представления функций бесконечнозначной логики

На практике часто возникает необходимость представить функцию БЛ в подходящей канонической форме. Наиболее удобными такими формами являются дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) и конъюнктивная нормальная форма (КНФ).

Определение 1.3. Пусть — произвольная функция БЛ с множеством аргументов Условимся считать различными как буквы так и буквы Элементарной конъюнкцией БЛ над а называется конъюнкция любого конечного мно­жества попарно различных букв где Например, элементарной конъюнкцией над служит Элементарной дизъюнкцией БЛ над а называется дизъюнкция любого конечного множества попарно различных букв где Так, элементарной дизъюнкцией над является