Дискретно-непрерывная математика (стр. 74 )

9.4. Логики, основанные на t-нормах

К концу XX в. появилась потребность в некоторой классификации бесконечнозначных логик и выделении соответствующей базисной логики, исходя из которой простым расширением можно было бы получать другие хорошо известные логики. Тогда в основе такой логики должна лежать очень элементарная логическая операция. Подходящим инструментом для этого оказались триангулярные нормы (t-нормы), которые расширяют аппарат нечеткой логики. Систематическое изучение нечетких логик, основанных на t-нормах, начато в монографии [Hdjek 1998], которая положила на­чало новому этапу в развитии многозначных логик. Здесь начато исследование нечетких логик как неклассических логик в виде гильбертовских пропозициональных и предикатных исчислений. См. также [Тиггтеп 1999], [Nowak, Perfilieva and Mockor 2000] (имеется перевод на рус. яз.) и [Gottwald 2001]. В ста­тье для «Стэнфордской Философской Энциклопедии» нечеткая ло­гика представлена именно в этом духе [Hdjek 2006] и несколько шире в [Hdjek 2002 (2006)].

9.4.1. Т-нормы

Т-нормы были введены в 1958 г. в рамках теории вероятностных метрических пространств (см. [Schweizer and Sklar I960]), исходя из идей К. Менгера (1942) о триангулярных неравенствах. Подроб­ное изложение теории t-норм, их происхождение, развитие и при­менение имеется в монографии [Klement, Mesiar and Pap 2000] (см. также [Klement and Mesiar (eds.), 2005]). Класс t-норм исключи­тельно обширен и имеет довольно-таки непростые примеры, но для нас важно то, что t-нормы есть вид бинарной операции, которая обобщает, с одной стороны, операцию решеточного пересечения, а с другой стороны, свойства обычной классической конъюнкции.

Т-нормой является бинарная операция *, которая определяется на интервале [0,1] и удовлетворяет следующим свойствам. Для всех

• Коммутативность,,

• Ассоциативность,

• Монотонность, если

• Граничные условия, Таким образом, 1 есть нейтральный элемент.

В конце 70-х годов сразу несколько авторов предложили ис­пользовать t-нормы как подходящий класс функций для моделиро­вания пересечения нечетких множеств (см. [Dubois and Prade 1979b] и [Hohle 1979]).

Т-норма называется непрерывной, если она непрерывна как функция, т. е. является непрерывным отображением [0,1]2 в [0,1]. Это условие, среди других, обеспечивает «хорошую» импликацию которую назвали R-импликацией [Trillas and Valverde 1981] и которую в итоге стали определять как резидуал относительно конъюнкции *:

В этом случае говорят, что операции * и образуют сопря­женную пару. Таким образом, условие сопряженности в действи­тельности ограничивает t-нормы на случай непрерывности слева. Такие t-нормы будем называть п-непрерывными (left-continuous) t-нормами. В явном виде операция характеризуется следую­щим образом:

Это обеспечивает следующее ее свойство:

Последнее интерпретируется как нечеткая версия правила modus ponens. Понятно, что t-нормы, имеющие соответствующую хорошую импликацию, представляют для логики особый интерес.

Посредством t-нормы и ее резидуала могут быть определены другие операции, например, операция соответствующая пропо­зициональному отрицанию определяется следующим образом:

Также, ограничившись непрерывными t-нормами, можно оп­ределить операции min и max, что позволит рассматривать [0, 1] как решеточную структуру. Используя обычные обозначения, имеем:

Посредством этих операций определяются истинностные зна­чения молекулярных формул на интервале [0,1]. Обычным обра­зом, формулы, которые всегда принимают значение 1, называются тавтологиями, или *-тавтологиями. Множество всех *-тавтологий называется логикой, основанной на t-норме *. Такие логики будем называть t-логиками. Наиболее важные примеры t-логик следую­щие [Hdjek 1998]:

1. Бесконечнозначная логика Лукасевича в которой t-нормой является есть резидуал относительно (см. выше раздел 8.1.1).

2. Логика Гёделя-Даммита в которой t-нормой является

есть резидуал относительно (см. выше раздел 8.2.3.1).

3. Логика произведений П [Hdjek, Godo andEsteva 1996], в ко­торой

t-нормой является (обычное произведение действительных чисел); импликация если и в остальных случаях; отрицание такое же, как в

9.4.2. Семантический подход

Проблема адекватной аксиоматизации t-логик столкнулась с той трудностью, что не было стандартного подхода к семантическому обоснованию систем таких логик. Оказалось, что здесь нет единст­венной «стандартной» семантической матрицы с множеством ис­тинностных значений [0,1], которую можно было бы использовать в качестве общего подхода. Поэтому первоначально усилия были направлены на то, чтобы найти такие абстрактные алгебраические структуры, которые улавливали бы различие между непрерывными

t-нормами и л-непрерывными t-нормами, и затем построить соот­ветствующие логические исчисления. Разработка такой семантики получила название общей (general) семантики, основанной на клас­се абстрактных алгебр.

Алгебраическая структура называется

резидуированной решеткой [Pavelka 1979], если

• есть ограниченная решетка;

• есть абелев моноид;

• Выполняется условие сопряженности (R) (см. выше).

На самом деле резидуал t-нормы существует т. т.т., когда t-норма является л-непрерывной. Таким образом, л-непрерывные

t-нормы характеризуются резидуированными решетками. Подоб­ным образом можно дать алгебраическую характеризацию полно­стью непрерывных t-норм.

Резидуированная решетка называется

делимой {divisible) т. т.т., когда для всех существует

некоторое такое, что Альтернативной характеризацией

делимости в резидуированных решетках является введение слабой конъюнкции: для всех (см. выше). Та-

ким образом, резидуированная решетка, детерминированная t-нормой *, является делимой т. т.т., когда * непрерывна.

Всё что остается, чтобы охарактеризовать непрерывные t-нормы, это условие предлинейности. Резидуированная решетка является предлинейпой т. т.т., когда

для всех х, у L.

Делимые предлинейные резидуированные решетки получили название BL-алтебр [Hajek 1998], которые являются многообрази­ем. Особый интерес представляют следующие три подкласса BL-алгебр. Пусть есть BL - алгебра.

• есть MV-алгебра, еслиудовлетворяет тождеству:

• есть G-алгебра (алгебра логики Гёделя-Даммита если удовлетворяет тождеству: