Дискретно-непрерывная математика (стр. 37 )

(Заметим, что покомпонентной определение операций может быть разным. См. ниже бирешетку под названием 'FOUR'.)

Эта проблема решается за счет то­го, что значения связок необходимости не равны 1:

Далее Лукасевич определяет две связки случайности и приво­дит примеры принимаемых формул, которые говорят о том, что в

-модальной логике существуют истинные случайные высказыва­ния. Таким образом, все поставленные проблемы решены.

Также с точки зрения чисто логико-алгебраического подхода никаких проблем не возникает. Уже Лукасевичем была высказана гипотеза об аксиоматизации этой логики. С некоторым упрощени­ем она была осуществлена в [Smiley 1961] и стандартный вид при­няла в [Lemmon 1966]. Пусть(см. 4.3.1) и есть N1x. Тогда аксиоматизацией -системы является любое множество схем аксиом для классической пропозициональной логики С2 плюс сле­дующие три:

Единственным правилом вывода является modus ponens.

В [Lemmon 1966] дано алгебраическое доказательство полноты

- модальной системы, т. е. эта система строго полна относительно класса дискретных эпистемических алгебр. Дискретные эпистеми-ческие алгебры есть в точности булевы алгебры с выделенным эле­ментом где определяется следующим образом:

Однако-модальная логика вызвала не меньше, если даже не больше, критических замечаний, чем Опять же было указано на несоответствие формальных свойств новой модальной логики фи­лософской проблематике, поднятой Аристотелем. Был об­наружен целый ряд парадоксальных, совершенно интуитивно не­приемлемых модальных формул (некоторые уже озадачили самого Лукасевича), которые ставят под сомнение интерпретацию связок как "возможно" и "необходимо" соответствен­но. Также рассмотрению некоторых таких формул и следствий из них посвящена статья [Ивин 1980].

Когда всякий интерес к -модальной логике Лукасевича каза­лось бы пропал, появилась исчерпывающая статья [Font and Hajek 2002]. Здесь рассмотрены проблемы построения крипковской се­мантики для этой системы и продолжены алгебраические исследо­вания. Рассмотрены также работы, где данная система появилась независимо от Лукасевича. Интересно заключение авторов, что странности этой системы связаны не с построениями Лукасевича, а с модальной силлогистикой Аристотеля.

( См., например, формулу Здесь есть М и определяется обычным образом через импликацию и конъюнкцию.)

5.4.3. Решетка расширений четырехзначной классической логики С4

Итак, первоначально развитие четырехзначных логик пошло по ли­нии расширения классической четырехзначной пропозициональной логики С4 унарными операторами, Таких операторов всего 256. Желательно было бы иметь какой-то критерий для их выбора. На­пример, в работе [Lemmon 1966] выделяется 15 унарных операто­ров, которые добавляются к С4. Все эти 15 групп матриц называют­ся регулярными, поскольку они верифицируют модальную аксиому

Выделенным значением является 1.

Однако имеется одно очень важное ограничение, предложен­ное в работе [Ермолаева и Мучник 1979]. Здесь обраща­ется внимание на то, что модальные операторы, а также временные операторы в ряде модальных и временных логик и соответствую­щих алгебр выражаются с помощью эндоморфизмов в дистрибу­тивных решетках.

Рассматривается четырехэлементная булева алгебра (D - булева алгебра) с одноместными функциями g, e1 и е2:

В булевой алгебре D2 эти функции являются эндоморфизмами:

()

где f может быть любой из функций g, e1 и е2. Вместе с е0(х) = х (тождественной функцией) g, e1 и е2 образуют моноид Q всех эндо­морфизмов D2. Добавляются также константы b и п. В этой работе выписаны все функционально замкнутые расширения D. Приво­дится решетка этих классов и определены соответствующие каж­дому классу четырехзначные логики. Мы приведем решетку логик в наших обозначениях:

Логики со связками есть одна и та же

- модальная логика Лукасевича (см. выше). Расширение С4 по от­дельности операциями е2 и е1 и образует соответственно модаль­ную логику K4(S) (см. выше) и K4'(S). Как раз с эндоморфизмом е2 используется оператор необходимости

L0 = 0 в работе [Zeman 1971], где, как уже отмечалось, было дока­зано, что матрица со связками является характеристиче­ской для K4(S). Объединение двух этих логик, K4(S) и K4'(S), т. е. множество операций образует четырехзначную логику Лукасевича Новые две системы получаются посредст­вом расширения -модальной логики Лукасевича операторами е1 и е2 соответственно. Множество связок образует четырехзначную функционально полную логику Поста Р4. В итоге получили бы 8-элементную булеву решетку, если бы не расшире­ние С4 операцией g, которое образует модальную логику V2, нахо­дящуюся между С4 и

5.4.3.1. Модальная логика V2

Б. Собочиньский в {Sobochinski 1964] при исследовании расшире­ний модальной логики S4 (см. ниже) обнаруживает следующую формулу:

и устанавливает, что она не выводима в S5, но добавление ее к S5 не превращает всю систему в классическую логику. Следуя [Месхи 1974] обозначим ее посредством β2. В силу результата С. Скрогга о предтабличности S5 (см. ниже раздел 8.4.2.1) Собочиньский замечает, что системане представляет большого интереса,

поскольку является конечнозначной логикой. В [Sobochinski 1970] эта система обозначается посредством V2, и это стало ее стандарт­ным обозначением. Сам Собочиньский занялся исследованием системыНас же как раз интересует система V2.

В [Ермолаева и Мучник 1974] утверждается, что матрица «группы III» (см. выше раздел 5.4.1) является характеристической для модальной логики V2.

В логике V2 оператор □ имеет стандартные свойства: и определяется следующим образом:

[Ермолаева и Мучник 1974].

В [Месхи 1974] для V2 строится семантика Крипке. Модель в которой либо xRy, либо yRx, будем называть

квазицепъю. Непустое подмножествоквазицепи <М, R> назовем слипшимся многоточием, еслиТогда V2 ха-

рактеризуется двухэлементной квазицепью длины 1, или, иначе го­воря, двухэлементным слипшимся многоточием. Поскольку оператор g определяется в V2:

,

то четырехзначные логики со связками функ-