Дискретно-непрерывная математика (стр. 19 )

Эта логика также является регулярной и монотонной в смысле

3.4.5. Взаимоотношения между регулярными логиками Клини

В общем случае логика Z может быть названа промежуточной ме­жду логиками X и Y, причем если и только если и где отношение включения имеет место, когда все связки од­ной системы могут быть определены через связки другой, т. е. одна логика фунционально вложима в другую. Если имеет место также обратное, то получаем, как уже говорилось, функциональную экви­валентность.

Ранее мы это часто использовали, например, связки логики К3 могут быть определены через связки логики , т. е.Точно

так же В свою очередь,а S3

функционально эквивалентна (см. раздел 3.1.2).

Перейдем теперь к рассмотрению отношений между регуляр­ными трехзначными логиками.

Первый результат в этом направлении был получен [Финн 1974а: 425], который определил слабые связки Клини через сильные:

Двойственным образом определяется р q:

То есть было показано, что

В [Комендантская 2009] показано, что между всеми четырьмя логикамисуществует отношение включения, и

таким образом доказано высказанное Фиттингом предположение о том, что все регулярные связки, отличные от Кз иявляются промежуточными между Кз и

Для доказательства надо определить связки Lisp через сильные связки и слабые связки через связки Lisp.

Выразимости могут быть осуществлены следующим образом:

Итак,

Обратное же не имеет места. То, что нельзя посредством сла­бых связок определить сильные связки, то есть — оче­видно. Остается показать, что Последнее следует из работы Фиттинга [Fitting 1994]. Однако строгое доказа­тельство данного факта является открытой проблемой.

Возникает вопрос о взаимоотношении промежуточных регу­лярных логик Оказывается, они функционально экви­валентны:

Таким образом,

Поскольку является отношением порядка, то взаимоотноше­ние между трехзначными регулярными логиками Клини можно представить в виде четырехэлементной решетки (см. [Комендатская 2009]): . .

Заметим, что в [Томова 2009с] представлен под­класс регулярных четырехзначных логик Клини.

В конце этой главы мы остановимся на классификации импли-кативных расширений регулярных логик Клини [Томова 2010], а сейчас суммируем свойства таких логик, которые получаются из регулярных логик Клини посредством замены инволюции ~ на трехзначное отрицание Рейтингаи на дуальное ему отрицание

3.4.6. Р-логики

По аналогии с понятием р-алгебры и дважды р-алгебры (см, ниже раздел 4.4.2) введем понятие р-логики и дважды р-логики [Карпен­ко 2008]. Логику со связкаминазовём р-логикой, логику со связками. назовём дуальной р-логикой, а логику со связ­ками назовём дважды р-логикой.

Оказывается, посредством трехзначных связокможно определить отрицание Лукасевича [Cignoli and Monteiro 1965]:

Более того, посредством этих связок можно определить также импликацию Рейтинга [Varlet 1969]:

Поскольку

[Cignoli 1982],

то получаем

(Имеется упрощение ():

)

Итак, исходные связки ~ и → трехзначной логики Лукасевича выразимы посредством связокПоскольку посредст-

вом связок Лукасевича →и ~ выразимы связки то эти

логики функционально эквивалентны. Таким образом,есть трех - значная дважды р-логика.

Перейдем к промежуточным р-логикам. Сначала покажем, что системы трехзначных связок промежуточных р-логик и

функционально эквивалентны. Это можно сделать так [Томова 2009]:

Оказалось, что посредством системы связок можно представить систему связок т. е. промежуточная р-логика есть трехзначная логика Лукасевича (!) Это можно сделать следующим образом (см. [Томова 2009]),:

( Имеется упрощение ():

)

Отсюда, например, следует, что логики со связками ифункционально эквивалентны.

Но оказалось, что трехзначная дважды слабая р-логика со связками есть слабая р-логика, а последняя есть трехзначная логика Бочвара:

Об алгебраической характеризации указанных трехзначных р-логик см. ниже в разделе 4.5.2.

3.5. Трехзначные паранепротиворечивые логики

Еще одним направлением в области трехзначных логик стало кон­струирование паранепротиворечивой логики PL. Неформально го­воря, логика называется паранепротиворечивой, если «из противо­речия не следует все, что угодно», т. е из А и ~А в общем случае не следует В. Поскольку противоречие А и ~А полностью «разрушает» теорию, построенную на классической логике, делая ее тривиаль­ной (т. е. такой, в которой выводимо любое утверждение), то есте­ственно возникает желание рассмотреть такие модификации логи­ки, в которых принцип «из противоречия следует все» не действует и на основе которых могут быть построены противоречивые, но не тривиальные теории.

Общая проблема в таком виде была поставлена и частично ре­шена С. Яськовским [Jaskowski 1948]. В этой работе формулиру­ется главный формальный критерий, которому должна удовлетво­рять паранепротиворечивая логика PL: закон Дунса Скота ("принцип сверхполноты" у Яськовского)

не имеет места в PL.

В упомянутой выше работе Яськовский приводит пример трех­значной PL, но логические связки в ней такие, что имеет место следующий закон, известный уже Лукасевичу:

На этом основании Яськовский отвергает трехзначную PL. Назо­вем приведенную выше формулу формулой Лукасевича.

Тем не менее, трехзначные паранепротиворечивые логики при­влекли к себе большое внимание. Содержательно высказывания трехзначной паранепротиворечивой логики, имеющие промежу­точное истинностное значение, можно проинтерпретировать как высказывания, термины которых имеют такой денотат, что смысл этих высказываний противоречив, и поэтому они становятся и ис­тинными и ложными одновременно, например, «это утверждение ложно» или «расселово множество является элементом самого се­бя». Отсюда промежуточное истинностное значение в различных трехзначных паранепротиворечивых логиках интерпретируется как «антиномично», «парадоксально», «противоречиво». В силу этого появляются семантические средства, позволяющие анализи­ровать парадоксы типа «Лжец».