Дискретно-непрерывная математика (стр. 23 )

Сравнению трехзначных логических систем Г. Рейхенбаха и П. Детуш-Феврие посвящена статья Г. Тёрнебома [Tornebohm 1957]. Работы Рейхенбаха и Патнэма вызвали некоторую дискус­сию, итог которой подведен Л. Хенкином [Henkin 1960]. После долгого перерыва, как бы возрождая интерес к данной тематике, появляется работа [Bigaj 2001], где для адекватного описания "квантовой реальности" используется семантика супероценок, т. е. принцип бивалентности отбрасывается, но сохраняются все законы классической логики.

Наибольшее применение подучила трехзначная логика Клини К3. В [Kripke 1975] она положена в основание новой теории исти­ны, альтернативной к теории истины Тарского, а в книге [Maudlin 2004] конструкции предложенная Крипке, применена для разреше­ния парадокса «Лжец», См. также [Slcyrms 1970].

Логика Клини К3 применена в Фиттингом качестве логики программирования Prolog, В [Fitting and Вen-Jacob 1988] приво­дится литература по применению К3 в этой области, а также ука­зывается, что логика Pascal есть слабая логика Клиниа логика LISP есть промежуточная логика Клини Применение

трхзначной логики в программировании также рассмотрено в [Delahaye and Thibau 1991].

Обратим внимание на применение трехзначной логики в иссле­довании корректности вычислительных программ: [Rasiowa 1977], [Kirkenid 1982], [Naish 2006].

Наконец, стоит отметить оригинальную трехзначную логику Юрьева [Юрьев 2001], предназначенную для моделирования рабо­ты биологического нейрона. Свойства ее весьма необычны: ника­ких решеточных и квазирешеточных операций она не содержит (см. [Карпенко 2001]).

3.8. Общие вопросы

Первой работой, где рассматриваются различные семейства трех­значных связок, выполняющие те или иные свойства, является ста­тья [Dienes 1949]. Например, дизъюнкция и конъюнкция являются ассоциативными и выполняются законы дистрибутивности. Для связки импликации выполняются также различные импликативные законы, и т. д. Вопросы взаимоотношения, функциональной эквива­лентности и аксиоматизации трехзначных систем не рассматрива­ются. Интересна статья [Maduch 1978], где выделяется класс чисто импликативных логик, состоящий из 18 различных систем, для них доказывается теорема дедукции и приводится их аксиоматизация. Здесь выполняется закон тождества и выделенным значением является только 1.

Вопрос о взаимоотношении различных трехзначных логик впервые был рассмотрен [Шестаков 1964]. Кратко основной результат можно резюмировать так: если в Вз конъюнкцию заменим на конъюнкцию из К3, то в результате получим логикуЭту логику Шестаков назвал «логикой Бочвара-Клини». Намного более подробно вопросы взаимоотношения трехзначных логик и выразимости в них связок рассматриваются [Финн 1974], где также приводится аксиоматизация и алгебраизация некоторых трехзначных логик.

В книге Л. Годцарда и Р. Раутли [Goddard and Routley 1973] вводится термин "логика значения" и рассматривается большое ко­личество различных трехзначных логик. Основная идея состоит в том, что семантические значения высказываний в естественных языках зависят от контекста и поэтому некоторые многозначные логики могут служить в качестве полезной аппроксимации логической структуры естественного языка. Однако эта работа не содер­жит какого-либо формального определения «логика значения».

В [Финн, Аншаков, Григолия и Забежайло 1980] и [Finn and Grigolia 1993] дается формальное определение понятия "логика значения" и его частного случая "логик бессмысленностного типа" на основе использования методов алгебраической семантики и вве­дения понятия «тип исткнносного значения». Здесь как бы реали­зуется идея о многозначных логиках как формализо­ванных семантиках. В указанных работах приводится классификация трехзначных логик значения и логик бессмысленностного типа. В свою очередь логики бессмысленностного типа делятся на два основных подкласса: логики сильно бессмысленно­стного типа и логики слабо бессмысленностного типа. Получаем подкласс логик сильно бессмысленностного типа, если промежу­точное значение понимается как «самая сильная» незначимость (бессмыслица). В системах первого подкласса появление хотя бы одного «сильно бессмысленного» высказывания в составе сложно­го делает все утверждение «сильно бессмысленным», в то время как «слабая бессмыслица» менее склонна к разрушению. Характер­ными представителями первого подкласса как раз являются трех­значная логика Бочвара В3 и трехзначная логика Холдена С. Наи­более интересным представителем второго класса является трехзначная логика Эббинхауза Ез, которая по своим функцио­нальным свойствам является промежуточной между В3 и Что касается самой то в предложенной классификации она вообще не является логикой значения и называется логикой неопределенностного типа.

Интересна работа А. Аврона [Avron 1991], где выделяется класс трехзначных логик, названных естественными. Это следую­щие логики: Пояснения требует логика LPF, которая была развита в рамках VDM проекта [Barringer, Cheng and Jones 1984]. LPF есть расширение К3 посредством до­бавления связкикоторая, напомним, есть не что иное, как связ­ка Холдена (см. 3.3.3). Аврон показывает, что логики функционально эквивалентны. Однако заметим, что уже из работы [Шестаков 1964] следует, что подобное расширение К3 есть (см. 3.1.2). Выше мы уже говорили, что RM3 и PCont эквивалентны (см. 3.5.2.1). Но, как говорит Аврон, имеет смыл рассматривать все эти логики по отдельности, поскольку каждая из них имеет свое специфическое отношение логического следования (в LPF в каче­стве импликации принимается (см. 3,1.1)). В этой статье этому вопросу уделено особое внимание. Кроме того, приводится секвенциальная формулировка этих систем со свойством устрани­мости сечения.

Таким образом, "естественными" логиками, по Аврону, явля­ются только те, которые есть расширение К3, что, конечно, являет­ся довольно-таки сильным ограничением. Например, не попадает в этот класс такая известная трехзначная логика, как В3, поскольку она является расширением слабой регулярной логики Клини. Вообще, интересно систематически рассмотреть расширения логи­ки и представить эти расширения в виде решетки. Этот вопрос будет рассмотрен в заключение всей главы.

В течение долгого времени считалось, что различные системы многозначной логики являются альтернативными к классической пропозициональной логике С2. Иногда для этого используется тер­мин "deviant" (см., например, [Haack 1974]) и такие логики назы­ваются девиаитными к С2. Основанием для этого является то, что некоторые тавтологии С2 опровергаются в той или иной трехзнач­ной логике: закон сокращения в контрапозиция в В3, закон Дунса Скота в RM3 и т. д. Но оказалось, что некоторые трехзначные ло­гики можно аксиоматизировать как расширение С2. Выше мы уже ссылались на В3 и на J3 (напомним, что последняя по своим выразительным свойствам есть При таком подходе эти логики не являются девиантными к С2. В работе [Smnott-Armstrong and Mal-hotra 2002] обсуждается проблема девиантности и в не совсем яс­ном виде вводится класс трехзначных нормальных логик, которые есть расширение С2. Подобный метод аксиоматизации, но на со­вершенно другом уровне (метод Аншакова-Рычкова), будет об­стоятельно рассмотрен нами в разделе б. З

Наконец, теория моделей для трехзначных логик рассмотрена в [Hodes 1989].

3.9. Решетка импликативных расширений регулярных логик Клини

Мы знаем, что PCont является расширением К3 (сильная логика Клини), а В3 является расширением(слабая логика Клини). Ло-гика является расширением как PCont, так и В3. В свою очередь, Кз является расширением Возникает нетривиальный вопрос о

суммировании всех интересных расширенийи представлении их в виде решетки [Томова 2010].

Надо уточнить слово «интересные». Для каждой системы логи­ки наиболее важно, какими свойствами обладает её связка импли­кации. Пусть V3 естьи D есть множество выделенных значений. Импликацию → будем называть естественной, если она обладает следующими свойствами: