Дискретно-непрерывная математика (стр. 12 )

Предположим, сейчас истинно, что завтра будет морское сра­жение. Из этого следует, что не может быть, чтобы завтра не было морского сражения, иначе не было бы истинно, что морское сраже­ние завтра будет. Следовательно, завтрашнее морское сражение яв­ляется необходимым событием (принцип необходимости). Подобно этому, если сейчас ложно, что завтра будет морское сражение, то необходимо, что морское сражение завтра не произойдет. Но сейчас истинно или ложно, что завтра будет морское сражение (принцип двузначности). Следовательно, или необходимо, что оно будет, или необходимо, что его не будет. Обобщая этот аргумент, получаем, что все в мире происходит по необходимости, и нет ни случайных событий, ни свободы выбора.

Логическая структура данного аргумента выглядит следующим образом. Пусть р есть высказывание о будущем случайном собы­тии; ~р — высказывание, противоречащее p, и читается как «не-р»; Т(р) и F(p) обозначают соответственно «истинно, что р» и «ложно, что p»; N(p) обозначает «необходимо, что р». Тогда имеем:

(1) - принцип необходимости,

(2) - по аналогии с (1),

(3) — принцип двузначности,

(4) - из '(1), (2) и (3) по правилу классиче­ской логики, которое называется «сложная конструктивная дилем­ма»: из

А→ С, В →D и A В следует С D.

Ограничивая сферу действия принципа двузначности, Аристо­тель тем самым разрушает свой фаталистический аргумент, лежа­щий в основании доктрины логического фатализма.

Однако фаталистический аргумент Аристотеля можно рекон­струировать по-другому:

(1) - принцип необходимости

(2) — подстановка в (1): ~р вместо p

(3) - семантический принцип исключенного третьего,

(4) - из (1), (2) и (3).

Заметим, что в силу следующего определения предиката "ложный", восходящего к Аристотелю: «ложность есть истинность отрицания (противоречивого) высказывания», т. е. принципы становятся эквивалентными.

И здесь проблем для Аристотеля не возникает, какой принцип от­брасывать. Более того, если мы к тому же принимаем конвенцию Тарского, которая утверждает, что фраза «истинно, что...», пред-

варяющая высказывание р, является излишней в классической ло­гике, т. е. Т(р) ≡ р, то закон исключенного третьегои прин­цип двузначности эквивалентны. Как отмечает Г. Х. фон Вригт, принятие конвенции Тарского ведет к тому, что «любая попытка провести строгое разграничение между Законом Исклю­ченного Третьего и Законом Бивалентности напрасна» [Вригт 1986]. Таким образом, в классической логике оба эти принципа эквивалентны, но в общем случае это не так, и на это впервые в 1922 г, обратил внимание Я. Лукасевич. Его опровержение при­веденного фаталистического аргумента состоит в том, что отбра­сывается принцип бивалентности и в логику вводится дополни­тельное, третье, истинностное значение (см. [Лукасевич 1993]).

Однако с развитием многозначной логики оказалось, что вве­дение дополнительных истинностных значений данную проблему не решает. Можно показать на весьма упрощенной ситуации, а именно на уровне пропозиционального языка (если, следуя фон Вригту, вместо предиката "истинный" будем рассматривать пропо­зициональный "оператор истинности" Тр), что принятие конвенции Тарского приводит к тому, что в общем случае средствами много­значной логики нельзя опровергнуть фаталистический аргумент Аристотеля. Этот аспект мы рассмотрим в разделе (5.4.6.3), где бу­дет построен пропозициональный базис для новой теории истинны.

2.5. Предыстория появления многозначной логики

Принятие принципа двузначности в античности было тесно связано с доктриной детерминизма (фатализма). Эпикурейцы, которые бы­ли индетерминистами, отрицали принцип двузначности, в то время как стоики, и прежде всего Хризипп, являющиеся последова­тельными детерминистами, учили, что все высказывания, в том числе и высказывания о будущих случайностях, должны быть ис­тинными или ложными, и считали это утверждение направленным против Аристотеля. Особенно бурно проблема истинностного ста­туса высказываний о будущих случайных событиях обсуждалась в средневековье, поскольку решение этой проблемы нужно было со­вместить с теологическим обоснованием возможности божест­венного предвидения будущих случайных событий, - например, свободных поступков людей, - если утверждения и отрицания о таких событиях не истинны и не ложны. Дуне Скот и в особенно­сти Уильям Оккам квалифицировали такие высказывания как неоп­ределенные. Некоторые исследователи считают У. Оккама, который посвятил этой проблеме специальный трактат [Ockham 1983], пред­шественником трехзначной логики.

Только в начале XX в. исходные идеи многозначной логики начинают обсуждаться вновь, в особенности в работах шотланд­ского философа X. Мак-Колла (1837—1909) и американского фило­софа и логика Чарльза Пирса (1839-1914); элементы многозначной логики можно усмотреть и у русского логика (1880-1940) после некоторой реконструкции его идей. Мак-Колл рассматривает высказывания, которые иногда истинны и иногда ложны, называя их переменными высказываниями, например, «х = 2», в отличие от всегда истинного высказывания «2 = 2» и от всегда ложного высказывания «2= 3». Истинностные значения пе­ременных высказываний Мак-Колл связывает с исчислением веро­ятностей. Пирс подошел к идее многозначной логики с нескольких точек зрения. Одна из них - проблема будущей случайности у Аристотеля. Известно, что уже к 1909 г. Пирс владел мето­дом истинностных таблиц для трехзначной логики, обосновывая третье истинностное значение как промежуточное между опреде­ленной истиной и определенной ложью. в период 1910-1914 гг. опубликовал несколько работ о «воображаемой ло­гике». Он рассматривал свои работы как попытку построения не­аристотелевской логики аналогично тому, как Лобачевский по­строил неэвклидову геометрию. В частности, в этих логиках отсутствует закон исключенного третьего и вообще возможны ло­гики без закона исключенного (п+1)-го.

3. Трехзначные логики

3.1. Трехзначная логика Лукасевича

Проблема, которую Ян Лукасевич (1878-1956), основатель логиче­ского направления в Львовско-Варшавской школе (см. [Воленъский 2004]), стремился разрешить, прилагая необычайные усилия, — это проблема детерминизма. Анализируя аристотелевскую проблему истинностного статуса высказываний о будущих случайных собы­тиях, Я. Лукасевич приходит к важному выводу, что принцип дву­значности (бивалентности) не является универсальным и, по край­ней мере, к высказываниям о будущих случайных событиях не при­меним. Исходя из этих соображений, Лукасевич вводит в логику третье истинностное значение, которое в отличие от 1 (истина) и 0 (ложь) обозначается 1/2 и интерпретируется как «безразлично», а позже как «возможно». Этим разрушается аристотелевский фата­листический аргумент, поскольку одна из исходных посылок, а именно принцип двузначности, отбрасывается. Однако введение дополнительного истинностного значения сразу же ставит другую серьезную проблему: переопределение логических связок.

Первая система трехзначной логики конструируется Я. Лукасевичем [Lukasiewicz 1920] следующим образом, В качестве исходных логических связок берутся отрицание ~ и импликация →, для которых оставляются классические значения, когда аргументы принимают значения из множества {0, 1}. В остальных случаях до­определение связок происходит следующим образом:

Посредством исходных связок по определению (которое будем обозначать посредством =:) вводятся другие логические связки:

(дизъюнкция),

(конъюнкция),

(эквив аленция).

Тогда истинностные таблицы для логических связок выглядят так:

Истинностное значение 1 здесь и далее, если не оговорено дру­гое, называется выделенным истинностным значением. Как и для классической логики С2, формула А называется тавтологией, если она принимает истинностное значение 1 независимо от того, какие значения принимают входящие в нее пропозициональные перемен­ные. Множество данных тавтологий называется трехзначной логи­кой Лукасевича и обозначается посредством

Обратим внимание на то, что истинностные таблицы для ~ и → появились у нас при доказательстве независимости аксиомы самодистрибутивности (см. 2.3). Таким образом, может быть по­лучена, исходя из совершенно других соображений.

Первая аксиоматизация множества тавтологий была приве­дена учеником айсбергом [Wajsberg 1931]: