Дискретно-непрерывная математика (стр. 80 )

Тем не менее, есть выход из создавшейся ситуации, если полагать, что мы разобрались с тем, что считать классическими истинностными значениями Т и F. Тогда представляется очень привлекательной идея проинтерпретировать многозначные логики, используя в явном виде именно эти два значения. Самое интересное, что впервые эта идея была высказана Э. Постом [Post 1921] и реализована для его же. функционально полной логики Рп. Позже подобным образом была проинтерпретирована модальная логика S5 (см. выше раздел 8.4.2).

10.6. T-F-последовательности в качестве истинностных значений

Вначале введем следующие понятия. Пустьт. е. В есть

множество классических истинностных значений. Посредством Bs обозначим s-кратное прямое произведение множества В:

Тогда приесть множество всех T-F-последовательностей (булевых векторов) длины s, которое записывается так:

Поскольку В есть двухэлементное множество, то число эле­ментов множества Bs равно 2s. Элементы множества Bs обозначим посредством с индексами или без них. Алгебра

есть булева алгебра, где операции определяются на

множестве Bs посредством булевых (т. е. классических) операций следующим образом: для любых T-F-последовтель-ностей

Поскольку компоненты аi и bi последовательностей α и β принимают классические истинностные значения Т и F (или 1 и 0), то указанные операции над компонентами - это просто логические операции над двоичными переменными. Тогда. сами операции естественно называть покомпонентными (булевыми) операциями.

Тогда в реконструированном виде интерпретация Поста для Рп выглядит следующим образом. Рассмотрим логическую матрицу

где есть множество таких T-F-последовательностей, где все

вхождения F стоят в начале последовательности. Легко видеть, что число таких T-F-последовательностей есть s+1 и равно числу ис­тинностных значений логики Рn, т. е. есть одноэле­ментное множество выделенных значений, где Ts есть T-F-последовательность, состоящая только из вхождений Т с числом s. Операцияесть покомпонентная булева операция, а определя­ется следующим образом:

т. е. только первое вхождение Т отрицается (напомним,есть классическое отрицание); если вхождений Т нет, то отрицаются все вхождения F.

Теорема 1. Логические матрицы и

изоморфны, где есть матрица для п-значной логики Поста (см. раздел 5.2.1).

Интерпретация Поста в какой-то степени осталась мало известной, но в [Byrd 1979] была предложена аналогичная интерпретация для многозначных логик Лукасевича

Для этого вначале вводится одноместный оператор d(α), который преобразует T-F-последовательности из Bs таким образом, что все вхождения Т предшествуют вхождениям F, т. е.:

Множество всех таких T-F-последовательностей обозначим посредством Элементы из будем обозначать посредством

Таким образом, Рассмотрим логическую матрицу

где операции определяются следующим образом:

Теорема 2. Логические матрицы и

изоморфны, где есть матрица для

п-значной логики Лукасевича (см. раздел 5.1.1).

Таким образом, имеется интерпретация истинностных значе­ний, будь то натуральные числа или дробные, в терминах классических истинностных значений Т и F. Например, истинностное значение 0 интерпретируется T-F-последовательностью, в которой все вхождения есть F; 1/3 — последовательностью т. е. числитель указывает на число вхождений Т, а знаменатель есть длина последовательности, обозначенная числом s (=n-1).

Обратим внимание, на то, что результат Теоремы 1 имеет так­же место, если множество истинностных значений заменим на множествот. е. оператор d перерабатывает каждую T-F-после-довательность в такую, что все вхождения F стоят в начале. Тогда истинностное значение 1/3 интерпретируется T-F-последова-тельностью

Заметим, что крипковскуго семантику А. Уркварта \Urqnhart 1973] для можно представить именно в таком виде, и соответственно крипковская семантика для Рп переводится в вышеприведенную.

10.7. Фактор-семантика: подмножества versus элементы

Имеет смысл обобщить приведенную выше интерпретацию так, чтобы она строилась независимо от выбора множества T-F-последовательностей в качестве истинностных значений. Такую интерпретацию мы назвали фактор-семантикой (см. [Karpenko 1983], [Карпенко 1989]), где в качестве истинностных значений выступают подмножества множества T-F-последовательностей. Строится она следующим образом. С булевой алгеброй

ассоциируем логическую матрицу

Последняя есть не что иное, как прямое произведение классической двузначной матрицы

s раз на саму себя.

Для любогообозначим через число компонент

элемента α, которые равны Т. Тогда если

есть фактор-множество множества Bs по отношению эквивалент­ности Очевидно, что мощность множества равна s+1. Если

тогдабудет обозначать класс эквивалентности, опреде­ленный по α. Фактор-множество снабдим операциями следующим образом: для пустьи

гдеипричем

отношение определяется так: т. т.т.,

когда

Заметим, что отношениеявляется отношением толерантно­сти, т. е. оно рефлексивно и симметрично, но в общем случае не транзитивно. В этом обнаруживается еще один неожиданный ас­пект импликации Лукасевича.

Таким образом, после операции «факторизации» и определе­ния логических операций на полученных классах эквивалентности матрица

преобразуется в матрицу

(операции дизъюнкции и конъюнкции как выразимые через исходные здесь опустим),