Дискретно-непрерывная математика (стр. 62 )

Вводится понятие алгебры Вайсберга— Гейтинга которая представляет собой алгебру типа (2,2,1,0) со следующей аксиоматикой:

AI. Аксиомы алгебры Вайсберга (см. выше

раздел 8.1.1).

АІІП. Аксиомы позитивной импликационной алгебры

(см. выше).

АІІІ. Аксиома связи:

Определения:

Доказывается следующая

Теорема. Алгебры и

эквивалентны.

Пропозициональную логику, алгебраическим примером кото­рой является WH-алгебра, обозначим посредством

Через 15 лет в [Cattaneo and Ciucci 2002] введено понятие ал­гебры Гейтинга-Байсберга которая представ­ляет собой алгебру типа (2,2,0) со следующей аксиоматикой.

Определения:

Аксиомы:

Можно показать, что алгебрыи

квивалентны. Заметим, что в [Cattaneo, Chicci, Giun-tini and Konig 2004] доказывается, что есть ал-

гебра Вайсберга W c аксиомами Wl, W2, W3, W4 (см. выше раздел 8.1,1). Также доказывается, что в HW имеют место все аксиомы симметрической алгебры Рейтинга (см. выше раздел 4.4.2).

Также отмечается, что HW можно рассматривать как модаль­ную алгебру, поскольку в ней определимы модальные операторы

При этом выполняются все аксиомы модаль­ной логики S5 (см. ниже), но основой является не булева алгебра, а алгебра Клини.

8.3.1.1. Алгебры, эквивалентные HW

В [Карпенко 1997] к операциям матрицы для добавляется отрицание из Тогда

(см. раздел 5.1.7, где есть

Пользуясь «симметризацией» алгебры Рейтинга, проведенной А. Монтейро (см. выше раздел 4.4.2), получаем

Таким образом, в свыразимы операции Н-В-логики

[Rauszer 1974]. Здесь же утверждается (без доказательства), что ал­гебра Вайсберга W с эквивалентна алгебре Вайсберга-Гейтинга WH.

Интересно, что в [Cattaneo, Dalla Chiara and Ginntini 1998] [вводится понятие «Брауэра-Заде многозначной алгебры с законами Де Моргана». Эти алгебры обозначаются посредством BZMVIM и являются усилением MV-алгебры посредством добавления операциииз В этом же году в [Hajek 1998] вводится понятие алгебры, которая есть расширение МV-алгебры посредством добав­ления модального оператора введенного в [Baaz 1996] и который на линейно-упорядоченной структуре определяется следующим образом:

если в остальных случаях.

Аксиоматизацией логики [Hdjek 1998] являются схемы ак­сиом для и следующие пять аксиом для оператора взятые из [Baaz 1996]:

Наконец, в [Веписе 1997] вводится понятие стоуновской MV-алгебры (SMV-алгебры) посредством некоторого ограничения на множество булевых элементов, что дает возможность ввести сто-уновское отрицание.

В [Cattaneo, Ghmtini and Pilla 1999] доказана эквивалентность между SMV и BZMVdM алгебрами, а в [Cattaneo, Ciucci, Ghmtini and Konig 2004] доказывается эквивалентность между и BZMVIM- алгебрами и между BZMVIM' и HW-алгебрами. Таким образом, все указанные алгебры эквивалентны. Также доказывается (берется HW-алгебра), что имеет место условие Даммита, т. е. линейность:

В этой же работе, используя результаты из [Hdjek 1998], где дана теорема представления для -алгебры и доказана теорема полноты для соответствующего пропозиционального исчисления, получены аналогичные результаты для остальных алгебр и соот­ветствующих им исчислений. Приведем аксиоматику пропозицио­нального исчисления HWL в виде аксиомных схем с исходными связками

Определения:

Аксиомы:

Правила вывода:

8.3.2. Логика без неподвижных точек

Теперь поставим следующий вопрос (см. [Карпенко 1993]): можно ли «расширить» свойства импликации в матрице

для бесконечнозначной логики Лукасевича таким образом, что­бы посредством этой новой операции и ~х определить операции и из

Рассмотрим бесконечнозначную матрицу

где есть множество таких рациональных чисел из отрезка

[0, 1], из которого элиминированы все числа с четным знаменате­лем. Операции определяются следующим образом:

Лемма 1. Операцииопределимы в матрице

Это можно сделать следующим образом:

где

Имеет смысл определить операцию в терминах хорошо

известных операций. Пусть

Тогда имеет место следующая

Лемма 2. Операция определима в матрице

Это можно сделать следующим образом:

где

Из леммы 1 и леммы 2 следует, что матрицы задают

одну и ту же логику, которую обозначим посредством

Обратим внимание на существенное свойство постро­енных матриц, которое заключается в том, что они не содержат не­подвижных точек относительно ~, т. е. Из этого следует, что в основе алгебры для лежит интенсиональная решетка [Belnap and Spencer 1966], которая представляет собой решетку де Моргана без неподвижных точек (о применении см. в [Anderson andBelnap 1975]).

Интересно сравнение матричных логик Очевидно, что каждая тавтология является тавтологией но