Дискретно-непрерывная математика (стр. 20 )

Еще из многочисленных применений царанепротиворечивой логики выделим то, которое связано с обработкой противоречивой информации компьютером. В связи с этим см. в разделе (5.4.4) кон­струирование Н. Белнапом, четырехзначной логики, обозначившей целое направление в современной логике. К паранепротиворечивым логикам мы вернемся в разделе 8.6.

3.5.1. Логика Приста LP

По существу первой трехзначной паранепротиворечивой логикой является логика (см. выше раздел 2.4.1), предложенная в каче­стве паранепротиворечивой Ф. Асеньо [Asenjo 1953] и обстоятель­но развитая Г. Пристом [Priest 1979; 1984], который обозначает ее посредством LP. Как мы уже говорили, множество тавтологий совпадает с множеством тавтологий классической логики С2. Это значит, что закон Дунса Скота имеет место в LP, но правило МР в LP не сохраняет тавтологию и поэтому, имея А и ~А, из закона Дунса Скота по правилу МР не получим В. В итоге, при стандарт­ном определении отношения логического следования (см. выше 3.4.1) следующие утверждения не верны:

5. Если А и В не содержат общих пропозициональных пе­ременных и если В принимает значение 0, то.

Таким образом, логика LP отлична от логики С2, несмотря на то что множества тавтологий в этих логиках совпадают.

Заметим, что логика LP положена Пристом в основание пара-непротиворечивой теории множеств. Алгебраическое изучение LP и ее расширения см. в [Рупко 1995; 2000].

3.5.2. Логика PСcont

Однако наиболее известной трехзначной паранепротиворечивой логикой, которая была построена в разное время и в разных стра­нах независимым образом, является следующая. Берется но в определении связки импликации имеется существенное изменение: вместо берется Такую импликацию обозна-

чим посредством

(Обратим внимание, что точно так, как импликация Клини отличается от импликации Лукасевича только тем, что то и импликация Яськовского отличается от импликации Гейтинга только тем, что Более того, стандартным образом определима в р-логике:

)

Она появляется в [D'Ottavicmo and da Costa 1970] и использу­ется в [da Costa 1974], хотя впервые появилась в [Jaskowski 1948]. В [Asenjo and Tamburino 1975], [Batens 1980] (под названием РІs), [Розоноэр, 1983; 1983], [Rozonoer 1989] (под названием PCont), [Avron 1986] (под названием эта логика была переоткрыта независимо друг от друга и представлена её аксиоматизация. Сис­тематически она изучена , который исходил из не­которых идей . - Им же предложен предикатный вари­ант PCont (см. также [Розоноэр 1993]).

PCont содержит весь позитивный фрагмент классической ло­гики С2, плюс следующие классические формулы с отрицанием:

и законы Де Моргана

где

(Этот фрагмент состоитиз первых восьми формул в аксиоматизации С2 (см. раз­дел 1.4), плюс закон Пирса )

Но не все классические тавтологии с отрицанием имеют место в PCont, например, закон Дунса Скота, добавление которого к PCont превращает последнюю в С2. Изящ­ное секвенциальное исчисление для PCont построено в [Попов 1989].

Отметим также, что исчисление PCont является максимальным в том смысле, что между PCont и С2 нет промежуточного исчисле­ния [Batens 1980]. Другими словами, С2 является единственным собственным непротиворечивым расширением PCont.

3.5.2.1. Логика PCont как RM3

В русле борьбы с парадоксами материальной импликации, напри­мер такими, как закон утверждения консеквента Б. Собочиньским [Sobocinsld 1952] была предложена трехзначная логика S3 с двумя выделенными значениями. Отрицание здесь есть не что иное, как отрицание в PCont, а импликация имеет то отли­чие от PCont, что вместо берется Такую им­пликацию обозначим посредством В силе ее важности для классификации имшщкативяых расширений трехзначных регуляр­ных логик Клини приведем ее табличное определение:

Дизъюнкция и конъюнкция в логике Собочиньского не явля­ются max и min соответственно (как в Кз), и определимы через от­рицание и импликацию. Логическая матрица со связками и с дизъюнкцией и конъюнкцией как max и min появляется в [Anderson and Belnap 1975], где. матрица для нее обозначается посредст­вом M3. Таким образом, связки, определяемые в М3, есть в точности связки трехзначной логики Клини К3, расширенной связкой

В [Anderson and Belnap 1975], где подробно исследуется логика следования Е, релевантная логика R, и система RM (об этих логиках см. ниже в разделе 8.5), вводится логика RM3, аксиомати­ка которой есть расширение логики следования Е. Здесь показано, что связки RM3 есть в точности связки из M3, т. е. матрица М3 явля­ется характеристической для RM3. В [Brady 1982] дана аксиоматизация

RM3, как расширение релевантной логики R (см. ниже раз­дел 8.5.3).

Наконец, А. Аврон [Avron 1986] определяет в RM новую связ­ку

Теперь в языке формулируется система которая эк-

вивалентна RM. Добавление к аксиомы

приводит к системе которая есть не что иное, как PCont. В

этой работе, в предисловии, А. Аврон указывает, что эта система функционально эквивалентна RM3. Однако только в [Avron 1991] мы находим доказательство эквивалентности:

(Оказывается можно определить только посредством связок (, 2009 г.).)

Здесь же приводится секвенциальное исчисление для RM3.

Обратим внимание на то, что в основе обеих логик PCont и RM3 лежит сильная регулярная логика Клини К3 с разными связ­ками импликации, но которые приводят к одной и той же логике по функциональным свойствам. Однако в качестве основания вместо Кз можно рассмотреть логики Как раз в [Halkowska

1989] исследуются алгебраические свойства трехзначной логики бессмысленности Z, которую можно представить как расширение посредством добавления дизъюнкции ЭббингаузаЭто ана­логично тому, что к добавить импликацию Собочиньского (см. выше раздел 3.3.3). Заметим, что в силу определения система Z функционально вложима в